Série d’exercices N° 1

Intégrales simples et multiples

Cette publication contient série d’exercices N° 1 qui consiste à démontrer les notions qui sont vues dans les cours Math 03.

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Exercice 1 : Intégrale de Riemann

A l’aide d’integrale de Riemann d’une fonction continue, déterminer la limite des suites suivants :

S_{n1}=\sum_{k=1}^n\frac k{n^2+k^2},

S_{n2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n+k^2}{n^3+k^3},

S_{n3}=\sum_{K=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+2Kn}} ,

S_{n4}=\sum_{k=1}^n\frac{k\pi^2}{n^2}\cos\left(\frac{k\pi}n\right) et

S_{n5}=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}e^\frac kn .

2. Déterminer l’aire du domaine délimité par les équations [y = {x^2} + 1] et [y = 7 - x] .

3. On pose : f\left(x\right):\left[0,2\right]\rightarrow\mathfrak R une fonction définie par : f\left(x\right)=x^2 ; avec : \left|\vec i\right|=1cm;\left|\vec j\right|=10cm .

• Trouver en cm² l’aire de région délimitée par C_f, l’axe des abscisses et les deux droites d’équation et pour n=20, n=100 et n=\infty.
• Déterminer la valeur moyenne et la valeur efficace sur une période du courant redressé à deux alternances (voir une représentation approximative sur la figure suivante).

I\left(t\right)=I_{max}sin(\omega t),\;\;\;\;\;\omega=2\pi/\tau\;

où τ est la période du courant.

Exercice 2 : Primitives et l’intégrale

Calcul de primitives et d’intégrales suivants :

I_1=\int\frac{2x+3}{x^2+3x-5}dx ,

I_2=\int\limits_0^1\frac{\arctan\left(x\right)}{x^2+1}dx,

I_3=\int\left(\frac3{\sqrt[3]x}+\frac1{2\sqrt x}+x\sqrt[4]x\right)dx,

I_4=\int\limits_2^e\frac{\ln\left(x\right)+1}{x\left(\ln x\right)^2}dx et

I_5=\int\limits_0^\frac\pi2\cos^2\left(x\right)dx.

Exercice 3 : Méthodes générales de calcul d’intégrales

1. Intégration par parties.

I_1=\int x^2\ln\left(x\right)dx,

I_2=\int_0^1arctan\left(x\right)dx,

I_3=\int_0^\pi\left(x^2+1\right)sh\left(x\right)dx,

I_4=\int cos\left(x\right)e^{2x}dx,

I_5=\int\left(x^2+2x+1\right)\sin\left(x\right)dx.

2. Intégration par changement de variable

I_1=\int\frac{\ln^3\left(x\right)}xdx,

I_2=\int\sin\left(2x\right)e^{\sin\left(x\right)}dx,

I_3=\int_0^1\frac{e^{2x}}{e^x+1}dx,

I_4=\int_0^{\left(\frac{\mathrm\pi}2\right)^2}\cos\left(\sqrt x\right)dx,

I_5=\int_0^1\frac1{a^x+a^{-x}}dx.

3. Intégration des fonctions trigonométriques

• Fonctions trigonométriques du type 1

I_1=\int_0^\pi{\sin(5x)sin(2x)dx} ,

I_2=\int_0^{2\pi}{sh(x)ch(2x)dx} ,

I_3=∫cos(x)cos(3x)dx .

• Fonctions trigonométriques du type 2

I_1= \int\cos^4\left(x\right)\sin^2\left(x\right)dx ,

I_2=\int sh^3\left(x\right)ch^4\left(x\right)dx ,

I_3=\int\cos^3\left(x\right)\sin^5\left(x\right)dx .

• Fonctions trigonométriques du type 3

I_1=\int\frac{\cos^3\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}dx ,

I_2=\int\frac{\cos\left(x\right)}{2-\cos^2\left(x\right)}dx ,

I_3=\int\frac{sh\left(x\right)}{sh\left(x\right)+2ch\left(x\right)}dx ,

I_4=\int\frac{dx}{1+\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)} .

• Intégration des fractions rationnelles.

I_1=\int\frac{x+1}{x^2-8x+7}dx.

I_3=\int\frac{x^2+3}{x^2-3x+2}dx.

I_4=\int\frac{2x+5}{x^3-8x}dx.

I_5=\int\frac{6x-7}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2}dx.

Exercice 4 : Méthodes de calcul d’intégrales doubles

Théorème de Fubini : Evaluer les intégrales suivantes :

I_1=\iint\limits_D\sin\left(x\right)\cos\left(y\right)dxdy,\;ou\;D={\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/0\leq x\leq\frac{\mathrm\pi}2,\;0\leq y\leq\frac{\mathrm\pi}2}.

I_2=\iint\limits_De^\frac xydxdy,\;ou\;D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/y\leq x\leq y^3,\;1\leq y\leq2.

I_3=\iint\limits_D\left(x+2y\right)dxdy,\;ou\;D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/0\leq x\leq1,\;0\leq y\leq x.

I_4=\iint\limits_De^{x+y}dxdy,\;ou\;D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/0\leq x\leq1,\;0\leq y\leq1\;.

I_5=\iint\limits_Dxydxdy,\;ou\;D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/0\leq x\leq1,\;0\leq y\leq1-x\;.

Application au calcul d’aires et de volumes :

A. Dans \mathbb{R}^2, on considéré le domaine D délimite par les courbes d’équations x=\frac{y^2}4 et y=2x.
1) calculer l’aire de D.
2) évaluer l’intégrale \iint\limits_D\left(y-x\right)dxdy.
B. calculer l’intégrale suivante : I=\iint\limits_D\frac{dxdy}{\left(x+y\right)^3},\;ou\;D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/x\geq1,\;y\geq1\;et\;x+y=3.

Changement de varaible :

A- Evaluer l’integrale double suivante en utilisant les coordonneés polaires:

I=\iint\limits_D\left(x+y\right)^2dxdy,\;ou\;D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/x\geq0,\;y\geq0\;et\;1\leq x^2+y^2\leq9.

B.1– Tracer le domaine suivante définie par : D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/x\geq1,\;et\;4\leq{(x-2)}^2+{(y-1)}^2\leq9.

B.2- Calculer l’integrale double suivant : I=\iint\limits_Dxydxdy.

Exercice 5 : Méthodes de calcul d’intégrales triples

Théorème de Fubini : Evaluer les intégrales triples suivantes :

I_1=\underset V{\int\int\int}\left(x+2y-z\right)dxdydz,\;ou\;V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/0\leq x\leq2,\;-1\leq y\leq1\;et\;1\leq z\leq3.

I_2=\underset V{\int\int\int}x^2z\sqrt{1+cos\left(4y\right)}dxdydz,\;ou\;V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/\left[0,1\right]\times\left[\frac\pi8,\frac\pi4\right]\times\left[1,2\right].

I_3=\underset V{\int\int\int}\left(z-2x+3y\right)dxdydz,\;ou\;D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/\left[0,1\right]^2\;et\;y\leq z\leq x.

I_4=\underset V{\int\int\int}ze^{-y^2}dxdydz,\;ou\;V=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^3/0\leq x\leq2y,\;0\leq y\leq z\;et\;\left[0,1\right]\;.

I_5=\underset V{\int\int\int}\left(x+y+z\right)dxdydz,\;ou\;V=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^3/0\leq x\leq z,\;x-z\leq y\leq x+z\;et\;\left[-1,1\right]\;.

Application au calcul de volumes :

A. Dans \mathbb{R}^3, on considéré le domaine V délimite par :

x=4-y^2,\;x+z=4,\;x=0\;et\;z=0.

• Calculer le volume de V.

Changement de varaible :

• Evaluer l’integrale triple suivante en utilisant les coordonnées cylindriques:

I=\underset V{\int\int\int}\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}dxdydz,\;ou\;V=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^3/x^2+y^2\leq R,\;0\leq\theta\leq\frac\pi2\;et\;0\leq z\leq R.