Équation différentielle du deuxième ordre

Cette publication contient la leçon N°=12 de mathématiques 03 intitulée : Équation différentielle du deuxième ordre. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad

Définition : On appelle équation différentielle linéaire du deuxième ordre une équation de la forme :

a(x)y''+b(x)y'+c(x)y'=f(x) …………………..(E)

où a(x), b(x), c(x) et f(x)sont des fonction définie sur \mathbb{R}.

Les équations différentielles les plus utiles et les plus fréquentes dans les applications pratiques sont les équations linéaires à coefficients constants qui s’écrivent sous la forme :

ay''+by'+cy'=f(x)

Résolution des équation différentielle du 2^éme ordre

Pour résoudre ED (E), on cherche d’abord la solution de cette équation mais sans second membre que l’on nomme solution de l’équation homogène soit y_h, puis on cherche la solution particulière y_p de l’équation (E) en utilisant soit la méthode des coefficients indéterminés, soit la méthode de la variation de la constante (de Lagrange). Enfin, la solution générale sera donc :

y=y_h + y_p

Solution homogène d’une ED du 2^ème ordre à coefficients constants

Théorème : On appelle équation homogène associée à l’équation :

ay''+by'+cy'=0 ………(EH)

l’équation caractéristique, on pose y=e^rx :

ar^2+br+c=0

\triangle=b^2-4ac

On résout cette équation dans l’ensemble des complexes. Trois cas peuvent se produire :

– Si ∆ > 0, alors l’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r_1=\frac{-b+\sqrt\triangle}{2a}\;et\;r_2=\frac{-b-\sqrt\triangle}{2a}. La solution homogène de l’équation (EH) est alors définie par :

y_h=K_1e^{r_1x}+K_2e^{r_2x}

où K₁ et K₂ sont deux constantes réelles arbitraires.

Exemple :

Résolution de l’équation homogène :

(1)-\;y''+y'-6y=0\;\;\;\;\;\;y(0)=1\;et\;y'(0)=4.

Solution :

On a : \;y''+y'-6y=0\;\;\;\;\;\;y(0)=1\;et\;y'(0)=4.

On pose : y\;=e^{rx}\Rightarrow r^2+r-6=0 et \triangle=b^2-4ac\Leftrightarrow\triangle=25>0

Alors : r_1=\frac{-b+\sqrt\triangle}{2a}=2\;et\;r_2=\frac{-b-\sqrt\triangle}{2a}=-3

Donc : y_h=K_1e^{r_1x}+K_2e^{r_2x}=K_1e^{2x}+K_2e^{-3x}

y_p?

L’équation s’écrira sous la forme : \;y_p''+y_p'-6y_p=0 et y(0)=1\;et\;y'(0)=4.

Alors :

On a : y(0)=1\;et\;y'(0)=4.

1=K_1+K_2 ………….(1)

4=2K_1-3K_2 …………(2)

(1) \times 3+ (2) \Rightarrow K_1=\frac57\;\;et\;K_2=\frac27

La solution générale pour cette équation est : y=\frac57e^{2x}+\frac27e^{-3x}

– Si ∆ = 0, alors l’équation caractéristique admet une racine double réelle : r_0=\frac{-b}{2a}. La solution homogène de l’équation (EH) est alors définie par :

y_h=\left(K_1x+K_2\right)e^{r_ox}

où K₁ et K₂ sont deux constantes réelles arbitraires.

Exemple :

Résolution de l’équation homogène :

(2)-\;4y''+12y'+9y=0.

Solution :

On a : \;4y''+12y'+9y=0.

On pose : y\;=e^{rx}\Rightarrow 4r^2+12r+9=0 et \triangle=b^2-4ac\Leftrightarrow\triangle=0

Alors : r_0=\frac{-b}{2a}=-4/3

Donc : y_h=\left(K_1x+K_2\right)e^{r_ox}=\left(K_1x+K_2\right)e^{-4/3x}

– Si ∆ < 0, alors l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées : r_1=\alpha+j\beta\;et\;r_2=\alpha-j\beta,\;\;avec\;:\;\alpha=\frac{-b}{2a}\;\;et\;\beta=\frac{\sqrt{-\triangle}}{2a}. La solution homogène de l’équation (EH) est alors définie par :

y_h=\left(K_1\cos\left(\beta x\right)+K_2\sin\left(\beta x\right)\right)e^{\alpha x}

où K₁ et K₂ sont deux constantes réelles arbitraires.

Exemple :

Résolution de l’équation homogène :

(3)-\;y''+2y'+5y=0

Solution :

On a : \;y''+2y'+5y=0

On pose : y\;=e^{rx}\Rightarrow r^2+2r+5=0 et \triangle=b^2-4ac\Leftrightarrow\triangle=-16<0

Alors : r_1=\frac{-b}{2a}+j\frac{\sqrt{-\triangle}}{2a}=-1+j4\;\;et\;\;r_2=\frac{-b}{2a}-j\frac{\sqrt{-\triangle}}{2a}=-1-j4

Donc : y_h=\left(K_1\cos\left(\beta x\right)+K_2\sin\left(\beta x\right)\right)e^{\alpha x}=\left(K_1\cos\left(2 x\right)+K_2\sin\left(2 x\right)\right)e^{- x}

Solution particulière d’une ED du 2^ème ordre à coefficients constants

Pour trouver la solution particulière y_p on utilise soit la méthode des coefficients indéterminés soit la méthode de variation de la constante (de Lagrange) :

Proposition : Soit y_h=K₁y₁+K₂y₂ la solution homogène de l’équation (EH) avec :

La solution particulière y_p par la méthode de variation de la constante (de Lagrange) est y_p=K₁(x)y₁+K₂(x)y₂.

y_p'=K_1(x)'y_1+K_1(x)y_1'+K_2(x)'y_2+K_2(x)y_2'

On pose la condition : K_1(x)'y_1+K_2(x)'y_2=0………………….(1)

On aura : y_p'=K_1(x)y_1'+K_2(x)y_2'

y_p est la solution différentielle de (E) alors :

Puisque y₁ et y₂ sont solutions l’équation homogène (EH) alors :

ay_1''+by_1'+cy_1=0\;\;\mathrm{et}\;\;{\mathrm{ay}}_2''+by_2'+cy_2=0

Il reste : a\left[K_1(x)'y_1'+K_2(x)'y_2'\right]=f(x)\Rightarrow\left[K_1(x)'y_1'+K_2(x)'y_2'\right]=\frac{f(x)}a……….(2)

Ainsi de (1) et (2) on aura le systéme d’équations :

K_1(x)'y_1+K_2(x)'y_2=0…………(3)

K_1(x)'y_1'+K_2(x)'y_2'=\frac{f(x)}a………..(4)

Pour trouver la solution particulière y_p, on résout les systémes (3) et (4) pour trouver K_1(x)' et K_2(x)' puis on intégre pour trouver K_1(x) et K_2(x).

Exemple :

Trouver une solution générale pour l’équation : \;y''+5y'-6y=2e^x

Solution :

On pose : y\;=e^{rx}\Rightarrow r^2+5r-6=0 et \triangle=b^2-4ac\Leftrightarrow\triangle=49>0

Alors : r_1=\frac{-b+\sqrt\triangle}{2a}=1\;et\;r_2=\frac{-b-\sqrt\triangle}{2a}=-6

Donc : y_h=K_1e^{r_1x}+K_2e^{r_2x}=K_1e^{x}+K_2e^{-6x}

Calculons y_p:

[/latex]\Rightarrow y”+5y’-6y=2e^x[/latex]

On fait varier la constante en posant :

On a :

Alors :

K_1(x)'e^{x}+K_2(x)'e^{-6x}=0…………………(1)

K_1(x)'e^{x}-6K_2(x)'e^{-6x}=2e^x…………………(2)

(2)-(1)

Donc la solution générale est :

y=y_h+y_p=\left[K_1e^x+K_2e^{-6x}\right]+\left[\frac2{7}xe^x-\frac2{49}e^x\right]

FIN