Saturday, March 2, 2024
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Équation différentielle du deuxième ordre

Cette publication contient la leçon N°=12 de mathématiques 03 intitulée : Équation différentielle du deuxième ordre. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad

Définition : On appelle équation différentielle linéaire du deuxième ordre une équation de la forme :

a(x)y''+b(x)y'+c(x)y'=f(x) …………………..(E)

où a(x), b(x), c(x) et f(x)sont des fonction définie sur \mathbb{R}.

Les équations différentielles les plus utiles et les plus fréquentes dans les applications pratiques sont les équations linéaires à coefficients constants qui s’écrivent sous la forme :

ay''+by'+cy'=f(x)

Résolution des équation différentielle du 2éme ordre

Pour résoudre ED (E), on cherche d’abord la solution de cette équation mais sans second membre que l’on nomme solution de l’équation homogène soit yh, puis on cherche la solution particulière yp de l’équation (E) en utilisant soit la méthode des coefficients indéterminés, soit la méthode de la variation de la constante (de Lagrange). Enfin, la solution générale sera donc :

y=yh + yp

Solution homogène d’une ED du 2ème ordre à coefficients constants

Théorème : On appelle équation homogène associée à l’équation :

ay''+by'+cy'=0 ………(EH)

l’équation caractéristique, on pose y=erx :

ar^2+br+c=0

\triangle=b^2-4ac

On résout cette équation dans l’ensemble des complexes. Trois cas peuvent se produire :

Si ∆ > 0, alors l’équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r_1=\frac{-b+\sqrt\triangle}{2a}\;et\;r_2=\frac{-b-\sqrt\triangle}{2a}. La solution homogène de l’équation (EH) est alors définie par :

y_h=K_1e^{r_1x}+K_2e^{r_2x}

où K1 et K2 sont deux constantes réelles arbitraires.

Exemple :

Résolution de l’équation homogène :

(1)-\;y''+y'-6y=0\;\;\;\;\;\;y(0)=1\;et\;y'(0)=4.

Solution :

On a : \;y''+y'-6y=0\;\;\;\;\;\;y(0)=1\;et\;y'(0)=4.

On pose : y\;=e^{rx}\Rightarrow r^2+r-6=0 et \triangle=b^2-4ac\Leftrightarrow\triangle=25>0

Alors : r_1=\frac{-b+\sqrt\triangle}{2a}=2\;et\;r_2=\frac{-b-\sqrt\triangle}{2a}=-3

Donc : y_h=K_1e^{r_1x}+K_2e^{r_2x}=K_1e^{2x}+K_2e^{-3x}

yp?

L’équation s’écrira sous la forme : \;y_p''+y_p'-6y_p=0 et y(0)=1\;et\;y'(0)=4.

Alors :

y_p=K_1e^{r_1x}+K_2e^{r_2x}=K_1e^{2x}+K_2e^{-3x}y_p'=2K_1e^{2x}-3K_2e^{-3x}

On a : y(0)=1\;et\;y'(0)=4.

1=K_1+K_2 ………….(1)

4=2K_1-3K_2 …………(2)

(1) \times 3+ (2) \Rightarrow K_1=\frac57\;\;et\;K_2=\frac27

La solution générale pour cette équation est : y=\frac57e^{2x}+\frac27e^{-3x}

Si ∆ = 0, alors l’équation caractéristique admet une racine double réelle : r_0=\frac{-b}{2a}. La solution homogène de l’équation (EH) est alors définie par :

y_h=\left(K_1x+K_2\right)e^{r_ox}

où K1 et K2 sont deux constantes réelles arbitraires.

Exemple :

Résolution de l’équation homogène :

(2)-\;4y''+12y'+9y=0.

Solution :

On a : \;4y''+12y'+9y=0.

On pose : y\;=e^{rx}\Rightarrow 4r^2+12r+9=0 et \triangle=b^2-4ac\Leftrightarrow\triangle=0

Alors : r_0=\frac{-b}{2a}=-4/3

Donc : y_h=\left(K_1x+K_2\right)e^{r_ox}=\left(K_1x+K_2\right)e^{-4/3x}

– Si ∆ < 0, alors l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées : r_1=\alpha+j\beta\;et\;r_2=\alpha-j\beta,\;\;avec\;:\;\alpha=\frac{-b}{2a}\;\;et\;\beta=\frac{\sqrt{-\triangle}}{2a}. La solution homogène de l’équation (EH) est alors définie par :

y_h=\left(K_1\cos\left(\beta x\right)+K_2\sin\left(\beta x\right)\right)e^{\alpha x}

où K1 et K2 sont deux constantes réelles arbitraires.

Exemple :

Résolution de l’équation homogène :

(3)-\;y''+2y'+5y=0

Solution :

On a : \;y''+2y'+5y=0

On pose : y\;=e^{rx}\Rightarrow r^2+2r+5=0 et \triangle=b^2-4ac\Leftrightarrow\triangle=-16<0

Alors : r_1=\frac{-b}{2a}+j\frac{\sqrt{-\triangle}}{2a}=-1+j4\;\;et\;\;r_2=\frac{-b}{2a}-j\frac{\sqrt{-\triangle}}{2a}=-1-j4

Donc : y_h=\left(K_1\cos\left(\beta x\right)+K_2\sin\left(\beta x\right)\right)e^{\alpha x}=\left(K_1\cos\left(2 x\right)+K_2\sin\left(2 x\right)\right)e^{- x}

Solution particulière d’une ED du 2ème ordre à coefficients constants

Pour trouver la solution particulière yp on utilise soit la méthode des coefficients indéterminés soit la méthode de variation de la constante (de Lagrange) :

y1y2yh
∆ > 0y_1=e^{r_1x}y_2=e^{r_2x}yh=K1y1+K2y2
∆ = 0y_1=xe^{r_ox}y_2=e^{r_ox}yh=K1y1+K2y2
∆ < 0y_1=\cos\left(\beta x\right)e^{\alpha x}y_2=\sin\left(\beta x\right)e^{\alpha x}yh=K1y1+K2y2

Proposition : Soit yh=K1y1+K2y2 la solution homogène de l’équation (EH) avec :

La solution particulière yp par la méthode de variation de la constante (de Lagrange) est yp=K1(x)y1+K2(x)y2.

y_p'=K_1(x)'y_1+K_1(x)y_1'+K_2(x)'y_2+K_2(x)y_2'

On pose la condition : K_1(x)'y_1+K_2(x)'y_2=0………………….(1)

On aura : y_p'=K_1(x)y_1'+K_2(x)y_2'

y_p''=K_1(x)y_1''+K_1(x)'y_1'+K_2(x)y_2''+K_2(x)'y_2'

yp est la solution différentielle de (E) alors :

a\left[K_1(x)y_1''+K_1(x)'y_1'+K_2(x)y_2''+K_2(x)'y_2'\right]+b\left[K_1(x)y_1'+K_2(x)y_2'\right]+c\left[K_1(x)y_1+K_2(x)y_2\right]=f(x)

Puisque y1 et y2 sont solutions l’équation homogène (EH) alors :

ay_1''+by_1'+cy_1=0\;\;\mathrm{et}\;\;{\mathrm{ay}}_2''+by_2'+cy_2=0

Il reste : a\left[K_1(x)'y_1'+K_2(x)'y_2'\right]=f(x)\Rightarrow\left[K_1(x)'y_1'+K_2(x)'y_2'\right]=\frac{f(x)}a……….(2)

Ainsi de (1) et (2) on aura le systéme d’équations :

K_1(x)'y_1+K_2(x)'y_2=0…………(3)

K_1(x)'y_1'+K_2(x)'y_2'=\frac{f(x)}a………..(4)

Pour trouver la solution particulière yp, on résout les systémes (3) et (4) pour trouver K_1(x)' et K_2(x)' puis on intégre pour trouver K_1(x) et K_2(x).

Exemple :

Trouver une solution générale pour l’équation : \;y''+5y'-6y=2e^x

Solution :

On pose : y\;=e^{rx}\Rightarrow r^2+5r-6=0 et \triangle=b^2-4ac\Leftrightarrow\triangle=49>0

Alors : r_1=\frac{-b+\sqrt\triangle}{2a}=1\;et\;r_2=\frac{-b-\sqrt\triangle}{2a}=-6

Donc : y_h=K_1e^{r_1x}+K_2e^{r_2x}=K_1e^{x}+K_2e^{-6x}

Calculons y_p:

[/latex]\Rightarrow y”+5y’-6y=2e^x[/latex]

On fait varier la constante en posant :

y_p=K_1(x)e^{x}+K_2(x)e^{-6x}\Rightarrow y_p=K_1(x)y_1+K_2(x)y_2

On a :

K_1(x)'y_1+K_2(x)'y_2=0K_1(x)'y_1'+K_2(x)'y_2'=\frac{f(x)}a

Alors :

K_1(x)'e^{x}+K_2(x)'e^{-6x}=0…………………(1)

K_1(x)'e^{x}-6K_2(x)'e^{-6x}=2e^x…………………(2)

(2)-(1)

-7K_2(x)'e^{-6x}=2e^x \Rightarrow K_2(x)'=-\frac27e^{7x}\Rightarrow K_2(x)=\int-\frac27e^{7x}dx=-\frac2{49}e^{7x}K_1(x)'e^x+K_2(x)'e^{-6x}=0\Rightarrow K_1(x)'=-K_2(x)'e^{-7x}=\frac2{7}\Rightarrow K_1(x)=\int\frac2{7}dx=\frac2{7}x

Donc la solution générale est :

y=y_h+y_p=\left[K_1e^x+K_2e^{-6x}\right]+\left[\frac2{7}xe^x-\frac2{49}e^x\right]

Équation différentielle du deuxième ordre

FIN

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