Rappels sur l’intégrale de Riemann

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Cette publication contient la première leçon (N°=1) de mathématiques 03 intitulée: Rappels sur l’intégrale de Riemann. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad.

1.1.1 Intégrale de Riemann

1.1.2 Applications

1.1.1 Intégrale de Riemann

Définition : On appelle subdivision de l’intervalle \left[ {a,b} \right] un ensemble fini de n reéls {x_i} \in \left[ {a,b} \right] et 0 \le i \le n, avec {x_0} = a,{x_n} = b,\forall i,{x_i} \le {x_{i + 1}}.

f\left( \Delta \right) = \mathop {max}\limits_{0 \le i \le n - 1} \left( {{x_{i + 1}} - {x_i}} \right) s’appelle le pas de \Delta x .

l’intégrale de Riemann

On considère une subdivision \Delta x sur \left[ {a,b} \right] et on choisit \alpha_i\in\lbrack x_i,x_{i+1}\lbrack on appelle somme de Riemann relative à la subdivision \Delta x au choix dès \alpha={(\alpha_i)_{0\leq i\leq n-1}} la somme :

\mathfrak R\left(f,\Delta,\alpha\right)=\sum_{i=0}^{n-1}f\left(\alpha_i\right)\left(x_{i+1}-x_i\right)\;\;


Théorème : Soit f une fonction définie sur \left[ {a,b} \right] , tel que pour tout x \in \left[ {a,b} \right],\;f\left( x \right) \ge 0 . Alors est intégrable au sens de Riemann :

S_n=\frac{b-a}n\sum_{i=0}^{n-1}f\left(a+i\left(\frac{b-a}n\right)\right)

S_n=\frac{b-a}n\sum_{i=1}^nf\left(a+i\left(\frac{b-a}n\right)\right)

A l’aide de la formule de Riemann, on peut écrire :

\underset{n\rightarrow\infty}{\int_a^bf\left(x\right)\approx\lim}\frac{\left(b-a\right)}n\sum_{i=1}^nf\left(x_i\right)\;\; , avec : x_i=a+\left(b-a\right)\frac in .

On pose : b - a = 1\; et a = 0 \Rightarrow b = 1 .

\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n{f\left(\frac in\right)\approx}\int\limits_0^1f\left(x\right)dx .

Exemple (1) :

Calculer la limite des suites suivantes :

U_{n1}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac n{\left(k+n\right)^2} et U_{n2}=\sum_{k=1}^n\frac1{\left(2n+k\right)}

Solution (1) :

1.1.2 Applications :

A: Calcul d’aire

Définitions : Soit f une fonction quelconque et continue sur \mathfrak R.

  • Si a = {x_0} \prec {x_1} \prec {x_2} \prec \ldots \ldots \prec {x_n} =b et \Delta x = \left( {b - a} \right)/n\; est la distance entre chaque paire de points.
  • Soient : y_0=f\left(x_0\right),y_1=f\left(x_1\right),\dots\dots..y_n=f\left(x_n\right) ; alors la somme de Riemann de l’aire sous la courbe est : \left(y_1+y_2+\dots+y_n\right)\Delta x .
  • Lorsque n\rightarrow\infty\rightarrow l’aire sous la courbe est \int_a^bf\left(x\right)dx et :

\frac1{b-a}\int_a^bf\left(x\right)dx\approx\frac{\left(y_1+y_2+\dots+y_n\right)}{\left(b-a\right)}\Delta x\approx\frac{\left(y_1+y_2+\dots+y_n\right)}{\left(b-a\right)}\frac{\left(b-a\right)}n\approx\frac{\left(y_1+y_2+\dots+y_n\right)}n

Exemple (2) :

Trouver l’aire délimitée par la courbe : y = {x^2} - 6x + 5, l’axe des x, x = 1 et x=3.

Solution (2) :

A=\int_1^3\left(x^2-6x+5\right)dx=\left[\frac{x^3}3-3x^2+5x\right]_1^3=5.33 unités de surface.

B : Calcul de la valeur moyenne.

La moyenne d’un nombre fini est :

\left(a_1+a_2\right)/2 , \left(a_1+a_2+a_3\right)/3 …………… \left(a_1+a_2+a_3+……a_n\right)/n.

La valeur moyenne d’une fonction y=f\left(x\right) sur un intervalle \left[a,b\right] est \approx\left(y_1+y_2+\dots+y_n\right)/n .

Si n\rightarrow\infty on peut avoir ; la valeur moyenne d’une fonction f sur un intervalle \left[a,b\right]  est définie par :

\frac1{b-a}\int_a^bf(x)dx=V_{moy}(f) dans l’intervalle \left[a,b\right] .

Exemple (3) :

On calcule le moyen des carrés des réels compris entre 0 et 1.

\int_0^1x^2dx=\int_0^1V_{moy}^{}dx\Rightarrow V_{moy}^{}=\frac13.

C : Calculer les valeurs efficaces.

On appelle valeur efficace de f sur un intervalle \left[a,b\right] est définie par :

\sqrt{\frac1{b-a}\int_a^b\left(f(x)\right)^2}dx=V_{eff}\left(f\right) dans l’intervalle \left[a,b\right] .

Exemple (4) :

On calcule la valeur efficace de la fonction f\left(x\right)=\sqrt x dans \left[0,1\right] .

\int_0^1xdx=\int_0^1V_{eff}^2dx\Rightarrow V_{eff}^{}=\frac1{\surd2}.

to the best

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