Intégrale double

Must Read

Série 4 : Commande de machines

Série 4 : Commande de machines

Variateurs à hacheurs

Variateurs à hacheurs
- Advertisement -

Cette publication contient la leçon N°=8 de mathématiques 03 intitulée : Intégrale double. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad

Soit D ⊂ \mathbb{R}^2 et f : D \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue. On appelle intégrale double de f sur D le volume de l’espace compris entre D et la surface S dénie par les valeurs de f sur D, on note :

I=\underset D{\int\int}f\left(x,\;y\right)dxdy
intégrale double

Méthodes de calcul des intégrales doubles

Théorème de Fubini : On considère une fonction f de deux variables définie sur le domaine de D.

Proposition 1 : Le calcul pratique de l’intégrale double, va se ramener au calcul pratique de deux intégrales simples comme on le montre ci-dessous :

Si : D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d.

intégrale double

L’integrale double s’écrire :

I=\iint\limits_Df\left(x,\;y\right)dxdy=\int_a^b\int_c^df\left(x,\;y\right)dxdy.

I=\int_c^d\left[\int_a^bf\left(x,\;y\right)dx\right]dy=\int_a^b\left[\int_c^df\left(x,\;y\right)dy\right]dx.

Exemple 1 :

Proposition 2 : Un domaine est dit régulier selon l’axe (Oy) si toute droite parallèle à (Oy) coupe le domaine D en au maximum deux points. Dans ce cas on peut écrire :

Si : D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/a\leq x\leq b,\;g_1\left(x\right)\leq y\leq g_2\left(x\right).

intégrale double

L’integrale double s’écrire :

I=\iint\limits_Df\left(x,\;y\right)dxdy=\int_a^b\int_{g_1\left(x\right)}^{g_2\left(x\right)}f\left(x,\;y\right)dxdy

I=\int_a^b\left[\int_{g_1\left(x\right)}^{g_2\left(x\right)}f\left(x,\;y\right)dy\right]dx.

Exemple 2 :
I=\int_0^1\int_0^{1-x}xy\left(x+y\right)dxdyA=\int_0^{1-x}xy\left(x+y\right)dy=\int_0^{1-x}x^2ydy+\int_0^{1-x}xy^2dyA=\left[x^2\frac{y^2}2+x\frac{y^3}3\right]_0^{1-x}=\left[\frac{x^2\left(1-x\right)^2}2\right]+\left[\frac{x\left(1-x\right)^3}3\right]=\frac{x^4-3x^2=2x}2

I=\int_0^1\frac{x^4-3x^2=2x}2dx=\left[\frac{x^5}{30}-\frac{3x^3}{18}+\frac{2x}{12}\right]_0^1={\textstyle\frac1{30}}

Proposition 3 : Un domaine est dit régulier selon l’axe (Ox) si toute droite parallèle à (Ox) coupe le domaine D en au maximum deux points. Dans ce cas on peut écrire :

Si : D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/\;h_1\left(y\right)\leq x\leq h_2\left(y\right),\;c\leq y\leq d.

intégrale double

L’integrale double s’écrire :

I=\iint\limits_Df\left(x,\;y\right)dxdy=\int_{h_1\left(x\right)}^{h_2\left(x\right)}\int_c^df\left(x,\;y\right)dxdy.

I=\int_c^d\left[\int_{h_1\left(x\right)}^{h_2\left(x\right)}f\left(x,\;y\right)dx\right]dy

Exemple 3 :

Soit D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/\;y\leq x\leq y^3,\;1\leq y\leq2.

I=\int_y^{y^3}\int_1^2e^\frac xydxdy=\int_1^2\left[\int_y^{y^3}e^\frac xydx\right]dy=\int_1^2\left[ye^\frac xydx\right]_y^{y^3}dy

Proposition 4 : cas particulier : Si f\left(x,\;y\right)=g\left(x\right).h\left(y\right) deux fonctions continues, avec D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d.

I=\iint\limits_Df\left(x,\;y\right)dxdy=\int_a^b\int_c^dg\left(x\right).h\left(y\right)dxdy.

I=\left[\int_a^bg\left(x\right)dx\right]\left[\int_c^dh\left(y\right)dy\right]

Exemple 4 :

I=\int_0^1\int_0^2\frac{xy^3}{x^2+1}dxdy=\int_0^1\frac x{x^2+1}dx\int_0^2y^3dy

I=\left[\frac12\ln\left(x^2+1\right)\right]_0^1.\left[\frac{y^4}4\right]_0^2=2\ln\left(2\right).

Domaine de D graphiquement

Évaluer I=\iint\limits_D1.dxdy avec D la région délimitée par les axes (Oxy) et la courbe 2y+x=2.

  • On trace d’abord le domaine D : sachant que :
  1. cas de domaine régulier selon l’axe oy : Pour évaluer les bornes d’intégrations on procède comme suit :
intégrale double
  • On trace une ligne verticale parallèle à l’axe oy, dans ce cas x est fixe et y augmente selon la ligne verticale.
  • Cette ligne entre le domaine D et l’intersecte au point y=0 (qui appartient à la droite y=0), et sort du domaine au point y=1-\frac x2 (qui appartient à la droite y=1-\frac x2). Ce sont donc les bornes d’intégration de l’intégrale interne.
  • Puis x augmente, on intègre de la valeur minimale de x à la valeur maximale de x qui sont les limites du domaine selon l’axe (ox), c’est-à-dire x_{nin}=0\;\;et\;x_{max}=2.

Ainsi le domaine d’intégration s’écrit :

D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/\;0\leq x\leq2,\;0\leq y\leq1-\frac x2

L’integrale double s’écrire :

  1. Cas de domaine régulier selon l’axe ox : Pour évaluer les bornes d’intégrations on procède comme suit :
intégrale double
  • On trace une ligne horizontale parallèle à l’axe ox , dans ce cas y est fixe et x augmente selon la ligne horizontale.
  • Cette ligne entre le domaine D et l’intersecte au point x = 0 (qui appartient à la droite x=0), et sort du domaine au point x=2-2y (qui appartient à la droite x=2-2y ). Ce sont donc les bornes d’intégration de l’intégrale interne.
  • Puis y augmente, on intègre de la valeur minimale de y à la valeur maximale de y qui sont les limites du domaine selon l’axe (oy), c’est-à-dire : y_{nin}=0\;\;et\;y_{max}=1.

Ainsi le domaine d’intégration s’écrit :

D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/\;0\leq x\leq2-2y,\;0\leq y\leq1

L’integrale double s’écrire :

Application au calcul d’aires, de volumes.

L’aire : Soit D un sous ensenble de \mathbb{R}^2\Rightarrow l’integrale I=\iint\limits_D1.dxdy nous donne l’aire (surface) du domaine de D.

Volume : Soit f une fonction définé sur un domaine D \in\mathbb{R}^2 \Rightarrow l’integrale \iint\limits_Df\left(x,\;y\right)dxdy nous donne le volume de l’espase compris entre D et la surface S.

Exemple :

1. Calculer l’aire délimité par : y+x^2=4\;et\;x\geq-2;\;y=0.

2. Soit le domaine de D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/x\leq1;\;y\geq0\;et\;y^2\leq x.

  • Calculer l’integrale suivant : I=\iint\limits_Dx^2dxdy.
Solution :
  1. On a : y+x^2=4\;et\;x\geq-2;\;y=0.

Donc : 0\leq y\leq4-x^2\;\;et\;\;-2\leq x\leq2

Alors :

aire\;D=\int_{-2}^2\int_0^{4-x^2}1dxdy=\int_{-2}^2\left[\int_0^{4-x^2}dy\right]dx.

=\int_{-2}^2\left[y\right]_0^{4-x^2}dx=\int_{-2}^2\left(4-x^2\right)dx.

aire\;D=\left[4x-\frac{x^3}3\right]_{-2}^{\;2}=\frac{32}3

  1. Calculons lintegrale de : I=\iint\limits_Dx^2dxdy

On a : D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/x\leq1;\;y\geq0\;et\;y^2\leq x

Donc le domaine de D définé par :

x est Fixe :

0\leq x\leq1\;\;et\;\;0\leq y\leq\pm\sqrt x

I=\iint\limits_Dx^2dxdy=\int_0^1\int_0^{x^\frac12}x^2dxdy

intégrale double

Alors :

I=\int_0^1\left[\int_0^{x^\frac12}x^2dy\right]dx=\int_0^1x^\frac52dx=\frac27

Théorème de changement de variables

Soit D ⊂ \mathbb{R}^2 et f : D \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue sur le domaine fermé et borné. Il y a deux moyens pour représenter un point dans un plan :

  • En coordonnées cartésiennes (x,y).
  • En coordonnées polaires (r,θ).

Coordonnées polaires :

En coordonnées polaires, nous avons les relations suivantes :

on pose :

intégrale double
intégrale double

Déterminants jacobiens :

Le jacobien dans ce cas s’écrira sous cette forme :

Le passage entre les intégrales doubles du cartésien en polaire se fera :

Exemple 1 :

Calculer I=\underset D{\int\int}\frac1{1+x^2+y^2}dxdy, ou D est une disque de centre (0,0) et de reyon 1.

Solution 1 :

On a D une disque de centre (0,0) et de reyon 1.

intégrale double

Utiliser les coordonnées polaires (r,θ).

0\leq r\leq10\leq\theta\leq2\pi

Le jacobien associé à ce changement de variables est :

Donc :

I=\underset D{\int\int}\frac1{1+x^2+y^2}dxdy=\underset D{\int\int}\frac1{1+r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta}rdrd\theta

I=\int_0^1\frac r{1+}dr.\int_0^{2\pi}d\theta=\pi\ln\left(2\right)

Exemple 2 :
  1. Tracer le domaine de D défine par :D=\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2/\;0\leq y\leq x\sqrt3,\;1\leq x^2+y^2\leq4.
  2. Utilisé les coordonnées polaires (r,θ) pour evluer l’integrale double suivant:

I=\underset D{\int\int}xydxdy

Solution 2 :

  1. Tracer le domaine de D

Premier cercle : \left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2\geq1, avec \left(x_0,\;y_0\right)=\left(0,\;0\right) est Centre d’un cercle 0\leq r_1\leq1.

intégrale double

Deuxième cercle : \left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2\geq1, avec \left(x_0,\;y_0\right)=\left(0,\;0\right) est Centre d’un cercle 0\leq r_2\leq2.

intégrale double

On a : y=x\sqrt3, nous utilisons le changement de variable :

y=x\sqrt3\Rightarrow r\sin\left(\theta\right)=r\cos\left(\theta\right)\sqrt3\Rightarrow arctg\left(\sqrt3\right)=\frac\pi3

Alors le domaine délimité par :

1\leq r\leq2, 0\leq\theta\leq\frac{\mathrm\pi}3 et 0\leq y\leq x\sqrt3

intégrale double
  1. Calculons I=\underset D{\int\int}xydxdy

On a : x=r\cos\left(\theta\right)\;;\;y=r\sin\left(\theta\right)\;\;et\;\left|j\right|=r:

Donc :

I=\underset D{\int\int}xydxdy=\int_1^2\int_0^\frac\pi3r\cos\left(\theta\right).r\sin\left(\theta\right).rdrd\thetaI=\int_1^2r^3dr\int_0^\frac\pi3\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)d\theta=\left[\frac{r^4}4\right]_1^2\left[\frac{\sin\left(2\theta\right)}2\right]_0^{\textstyle\frac\pi3}

I=\left[\frac{15}4\right]\left[\frac{\sqrt3}4\right]=\frac{15\sqrt3}{16}

Fin

Exemples supplémentaires

Exemple A :

Exemple B :

intégrale double
- Advertisement -
- Advertisement -
Latest News

Série 4 : Commande de machines

Série 4 : Commande de machines

Variateurs à hacheurs

Variateurs à hacheurs

Variateurs à redresseurs

Redresseur 1

Série 3 : Commande de machines

Série 3 : Commande de machines

Variation du vitesse CC

Cette publication contient la leçon N° 8 de la commande des machines électriques. Proposé et rédigé par Dr Khadar Saad
- Advertisement -

More Articles Like This