Calcul des primitives

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Cette publication contient la deuxième leçon (N°=2) de mathématiques 03 intitulée: Calcul de primitive. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad.

1.2.1 Primitives
1.2.2 Primitives des fonctions usuelles
1.2.3 Formules des primitives
1.2.4 Relation entre la primitive et l’intégrale
1.2.5 Quelques propriétés de l’intégrale

1.2.1 Primitive

Dans le cas de la dérivabilité, le problème est posé comme suit : étant donnée une fonction F\left( x \right), on cherche sa dérivée, c’est-à-dire la fonction :

f\left(x\right)=F'\left(x\right)

Définition : On dit que la fonction F\left( x \right) définie, dérivable sur un intervalle I de \mathfrak R est une primitive de la fonction f\left( x \right) si on a l’égalité suivante :

F'\left(x\right)=f\left(x\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\forall x\in I

Exemple (5) :

Trouver une primitive de la fonction f\left( x \right) = 2{x^3}.
D’après la définition, on vérifie que la primitive de f\left( x \right) = 2{x^3} est :

F\left(x\right)=\frac12x^4

En effet :

F'\left(x\right)=\frac12x^4=2x^3

Si la fonction f\left( x \right) admet une primitive, alors cette dernière n’est pas unique.

Exemple (6) :

Si on prend l’exemple f\left( x \right) = 2{x^3}, nous aurions pu prendre pour primitives les fonctions suivantes :

F\left(x\right)=\frac{x^4}2+1,\;\;F\left(x\right)=\frac{x^4}2-7

ou plus généralement :

F\left(x\right)=\frac{x^4}2+C

où C est un nombre réel quelconque, en effet :

F'\left(x\right)=\frac{x^4}2+C=2x^3

1.2.2 Primitives des fonctions usuelles

Nous donnerons une liste des primitives de certaines fonctions élémentaires suivantes (dans les formules suivantes désigne une constante arbitraire) :

FonctionPrimitiveIntervalleCommentaire
{x^n} \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\mathfrak Rn \in N
{\alpha ^x} \frac{\alpha^x}{\ln\left(\alpha\right)}+C\mathfrak R\alpha \succ 0,\alpha \ne 1
\frac{1}{x} \ln (x) + C \rbrack0,+\infty\lbrack
\frac{1}{{\sqrt x }} 2\sqrt x + C\rbrack0,+\infty\lbrack
\ln (x) x\ln (x) - x + C\rbrack0,+\infty\lbrack
{e^x} {e^x} + C\mathfrak R
{e^{\alpha + \beta x}}\frac{1}{\alpha }{e^{\alpha + \beta x}} + C\mathfrak R\alpha \in {C^*}
\cos \left( x \right)\sin \left( x \right)\mathfrak R
\sin \left( x \right)- \cos \left( x \right)\mathfrak R
\tan \left( x \right)- ln\left| {\cos \left( x \right)} \right| + C\mathfrak R
\cos \left( {\alpha x + \beta } \right)\frac{1}{\alpha }sin\left( {\alpha x + \beta } \right) + C\mathfrak R\alpha \in {C^*}
\sin \left( {\alpha x + \beta } \right)- \frac{1}{\alpha }\cos \left( {\alpha x + \beta } \right) + C\mathfrak R\alpha \in {C^*}
ch\left( x \right)sh\left( x \right) + C\mathfrak R
sh\left( x \right)ch\left( x \right) + C\mathfrak R
\frac{1}{{\sqrt {{\alpha ^2} - {x^2}} }}Arc\sin \left( {\frac{x}{\alpha }} \right) + C\left] { - \alpha ,\alpha } \right[ \alpha \succ 0
\frac{1}{{\alpha x + \beta }}\frac{1}{\alpha }\ln \left( {\alpha x + \beta } \right) + C\mathfrak R\alpha\neq0
\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}\frac{1}{\alpha }Arc\tan \left( {\frac{x}{\alpha }} \right) + C\mathfrak R
\alpha\neq0
\frac{1}{{{{(x + \alpha )}^2} + {\beta ^2}}}\frac{1}{\beta }Argch\left( {\frac{{x + \alpha }}{\beta }} \right) + C\mathfrak R\beta\neq0
\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}Argsh\left( x \right) + C\mathfrak R
\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}Argch\left( x \right) + C\mathfrak R
Exemple (7) :

Calcul les primitives des fonctions suivantes :

f_1\left(x\right)=cos\left(5x\right)+x^2 , f_2\left(x\right)=2\sin\left(2x-6\right), f_3\left(x\right)=e^{x-4}+1 et f_4\left(x\right)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}+\frac1{{(x+2)}^2+4}.

1.2.3 Formules des primitives

Théorème : Soit g une fonction continue sur \left[a,b\right].

Fonction fPrimitive F
g'\left(x\right)g^\alpha\left(x\right),\alpha\neq-1 \frac{g^{\alpha+1}\left(x\right)}{\left(\alpha+1\right)}+C
\frac{g'\left(x\right)}{g\left(x\right)} \ln\left|g\left(x\right)\right|\;+C
g'\left(x\right)e^{g\left(x\right)} e^{g\left(x\right)}+C
Exemple (8) :

Calcul de primitives suivante :

f_1\left(x\right)=x\sqrt{1+4x^2}, f_2\left(x\right)=\frac{\ln\left(x\right)}x et f_3\left(x\right)=\frac{e^x}{e^x+1}

Solution (8) :
primitive

1.2.4 Relation entre la primitive et l’intégrale

Définition : On appelle intégrale indéfinie de la fonction f\left(x\right) sur un intervalle I notée \int f\left(x\right)dx toute expression de la forme F\left(x\right)+C , où F\left(x\right) est une primitive de f\left(x\right) et C est une constante réelle. Ainsi, par définition, on écrit :

\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C

De plus, la fonction f\left(x\right) est appelée fonction à intégrer et le signe \int est appelé signe somme ou signe de l’intégration. De la définition de l’intégrale indéfinie, il vient :

  • La dérivée d’une intégrale indéfinie est égale à la fonction à intégrer, c’est-à-dire F'\left(x\right)=f\left(x\right), alors

d\left(\int f\left(x\right)dx\right)=d\left(F\left(x\right)+C\right)=f\left(x\right) (1)

Cette égalité exprime que la dérivée d’une primitive quelconque est égale à la fonction à intégrer.

  • La différentielle d’une intégrale indéfinie est égale à l’expression suivante :

d\left(\int f\left(x\right)dx\right)=f\left(x\right)

Cela découle de la formule (1).

  • L’intégrale indéfinie de la différentielle d’une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction et d’une constate arbitraire :

\int dF\left(x\right)=\left(F\left(x\right)+C\right)

Il est facile de vérifier cette égalité par dérivation (la différentielle de chaque membre de l’égalité est égale à dF\left(x\right).

  • En d’autres termes, l’intégrales définie ou intégrale se présente comme suit :

\int\limits_a^bf\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)

1.2.5 Quelques propriétés de l’intégrale

Théorème : Soient f et g deux fonctions de classe C^1 sur l’intervalle \left[a,b\right], \lambda\in\mathfrak R\; et a,b,c\in\mathfrak R\left(a\leq c\leq b\right); on a :

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