Intégration par parties

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Cette publication contient la troisième leçon N°=3 de mathématiques 03 intitulée : Intégration par parties. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad

Méthodes générales de calcul d’intégrales

Cette présente section est consacrée à l’exposé des différentes méthodes permettant de déterminer la primitive (l’intégrale indéfinie) pour certaines classes de fonctions élémentaires à l’aide des procédés suivants :

1.3.1 Intégration par parties

1.3.2 Intégration par changement de variable

1.3.3 Intégration des fonctions trigonométriques

  • Fonctions trigonométriques du type 1
  • Fonctions trigonométriques du type 2
  • Fonctions trigonométriques du type 3

1.3.4 Intégration des fonctions rationnelles

  • Intégration des fractions rationnelles simples.
  • Intégration des fractions rationnelles complexes

1.3.1 Intégration par parties.

Généralement, la formule d’intégration par parties est utilisée pour l’intégration des expressions pouvant être mises sous forme de produit de deux fonctions u et v’:

Théorème : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, a et b des réels de I. On sait que la dérivée du produit u (x); v (x) est :

\left(u\left(x\right)v\left(x\right)\right)'=u'\left(x\right)v\left(x\right)+v'\left(x\right)u\left(x\right)

En intégrant, on trouve :

u\left(x\right)v\left(x\right)=\int_a^bu'\left(x\right)v\left(x\right)dx+\int_a^bu\left(x\right)v'\left(x\right)dx

\int_a^bu\left(x\right)v'\left(x\right)dx=\lbrack u\left(x\right)v\left(x\right)\rbrack_a^b-\int_a^bv\left(x\right)u'\left(x\right)dx ,

Ce qui s’écrit aussi, en terme de primitives :

\int u\left(x\right)v'\left(x\right)dx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int v\left(x\right)u'\left(x\right)dx

Exemple (9) :

Calculer l’intégrale suivante :

I=\int_1^2\ln\left(x\right)dx et J=\int x^2cos\left(x\right)dx

Solution (9) :

Calculons I :

Posons :

u=\ln\left(x\right)\;\;\;\;\;u'=\frac1x\;

v'=1\;\;\;\;\;v=x\;

Appliquons la formule d’intégration P.P on en déduit que :

I=\int\limits_1^2{\ln(x)dx}=\left[x\ln(x)\right]_1^2-\int\limits_1^2\frac xxdx

Finalement :

I=\int\limits_1^2{\ln(x)dx}==\lbrack xln(x)-x\rbrack_1^2=2\ln\left(2\right)-1

Calculons J :

Posons :

u=x^2\;\;\;\;\;\;\;\;u'=2x

v'=\cos\left(x\right)\;\;\;\;\;\;\;\;v=\sin\left(x\right)

Appliquons la formule d’intégrale par parties on en déduit que :

J=\int x^2\cos\left(x\right)dx=x^2\sin\left(x\right)-2\int\underbrace{x\sin\left(x\right)dx}_J

=x^2sin\left(x\right)-2\left(-xcos\left(x\right)+sin\left(x\right)\right)+C=\left(x^2-2\right)sin\left(x\right)+2xcos\left(x\right)+C

Finalement :

J=\int\left(x^2cos\left(x\right)\right)dx=\left(x^2-2\right)sin\left(x\right)+2xcos\left(x\right)+C

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