Cette publication contient série d’exercices : Séries numériques qui consiste à démontrer les notions qui sont vues dans les cours Math 03. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad.
En mathématiques, la notion de série permet de généraliser la notion de somme à une infinité de nombres. Il s’agit d’additionner des nombres, les uns après les autres, dans un ordre donné.
- La notion de série peut être étendue à des sommes infinies dont les termes ne sont pas nécessairement des nombres, mais par exemple des vecteurs, des fonctions ou des matrices. Quand les termes de la suite sont des nombres réels ou complexes, on parle de série numérique.
- Plus précisément, étant donné une suite de terme général un, étudier la série de terme général un, c’est étudier la suite obtenue en prenant la somme des premiers termes de la suite (un), autrement dit la suite de terme général Sn.
Le calcul d’une somme finie ne pouvant pas toujours être simplifié, un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non) d’une série sans réaliser explicitement les calculs.
Exercice 1 :
Par la condition nécessaire et non suffisante de la convergence, étudier la convergence des séries numériques suivantes :
a- \sum_{n\geq1}^{+\infty}\frac{10n+1}{2n}
b- \sum_{n\geq0}^{+\infty}\frac1{2^{-n}+1}
c- \sum_{n=1}^{+\infty}\sin\left(1+\frac{\cos\left(n\mathrm\pi\right)}{n^2}\right)
Exercice 2 :
Déterminer la nature des séries numériques suivantes :
- \sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt{\frac{n-1}{n^4+1}}
- \sum_{n\geq0}^{+\infty}\frac{\sqrt n-1}{n+\sqrt n-n^2+2}
Exercice 3 :
On considère la série numérique de terme général suivant :
u_n=\ln\left(1-\frac1{n^2}\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;n\geq2
Montrer que : u_n=\ln\left(\frac{n+1}n\right)-\ln\left(\frac n{n-1}\right)
Calculer la somme de \sum_{n=2}^{+\infty}u_n et déduire sa nature.
Série d’exercices : Séries numériques