Integrale triple

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Integrale triple

Cette publication contient la leçon N°=9 de mathématiques 03 intitulée : Intégrale triple. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad

Le problème est de se donner des outils pour calculer l’aire d’une surface, le volume d’un solide ou encore la masse d’une plaque ou d’un solide. En physique on peut aussi chercher la charge éléctrique d’une plaque connaissant la densité surfacique, en chimie on retrouve des problèmes de concentration

Soit V ⊂ \mathbb{R}^3 et f : V \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue, on note :

I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz

Integrale triple

Méthodes de calcul des intégrales triples

Théorème de Fubini : On considère une fonction f de trois variables définie sur le domaine de V.

Proposition 1 : Intégrales triples sur une boite rectangulaire. Si : V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d,\;e\leq z\leq f.

L’integrale triple s’écrire :

I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz=\int_a^b\int_c^d\int_e^ff\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz.

I=\int_c^d\int_e^f\left[\int_a^bf\left(x,\;y,\;z\right)dx\right]dydz=\int_a^b\int_e^f\left[\int_c^df\left(x,\;y,\;z\right)dy\right]dxdz=\int_a^b\int_c^d\left[\int_e^ff\left(x,\;y,\;z\right)d\right]dxdy.

Exemple 1 :

Soit I=\int_0^3\int_0^2\int_0^1\left[x+y+z\right]dxdydz, avec V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/1\leq x\leq3,\;0\leq y\leq2,\;0\leq z\leq1.

Donc :

Théorème de Fubini

Proposition 2 : Domaine V régulier selon l’axe oz : Si V est limité par deux surfaces P1(x,y) et P2 (x,y) et soit D la projection de V sur le plan (oxy), dans ce cas si : V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/\left(x,y\right)\in D\;et\;P_1\left(x,y\right)\leq z\leq P_2\left(x,y\right),\;avec\;x\in\left[a,b\right]\;ou\;\left[g_1\left(z\right),g_2\left(z\right)\right],\;\left[g_1\left(y\right),g_2\left(y\right)\right]\;et\;y\in\left[c,d\right]\;ou\;\left[h_1\left(x\right),h_2\left(x\right)\right],\;\left[h_1\left(z\right),h_2\left(z\right)\right].\;

L’integrale triple s’écrire :

I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz=\iint\limits_D\left[\int_{P_1\left(x,y\right)}^{P_2\left(x,y\right)}f\left(x,\;y,\;z\right)dz\right]dxdy.

Integrale double
attention
Exemple 2 :

Calculer l’integrale triple suivante :

Integrale triple

Donc : x fixe; 0\leq x\leq1,\;0\leq y\leq1-x\;et\;\;0\leq z\leq1-x-y.

On va essayer d’appliquer la propositon précédente :

Integrale triple

Proposition 3 : Domaine V régulier selon l’axe oy. Si V est limité par deux surfaces h1(x,z) et h2(x,z). Alors : V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/\left(x,z\right)\in D\;et\;h_1\left(x,z\right)\leq y\leq h_2\left(x,z\right),\;avec\;x\in\left[a,b\right]\;ou\;\left[g_1\left(z\right),g_2\left(z\right)\right],\;\left[g_1\left(y\right),g_2\left(y\right)\right]\;et\;z\in\left[e,f\right]\;ou\;\left[P_1\left(x\right),P_2\left(x\right)\right],\;\left[P_1\left(y\right),P_2\left(y\right)\right].\;

L’integrale triple s’écrire :

I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz=\iint\limits_D\left[\int_{h_1\left(x,z\right)}^{h_2\left(x,z\right)}f\left(x,\;y,\;z\right)dy\right]dxdz.

Exemple 3 :

Calculer l’integrale suivante :

I=\int_0^z\int_{x-z}^{x+z}\int_{-1}^1\left[x+y+z\right]dxdydz

Alors :

Integrale triple

Proposition 4 : Domaine V régulier selon l’axe ox. Si V est limité par deux surfaces g1(y,z) et g2(y,z). Alors : V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/\left(y,z\right)\in D\;et\;g_1\left(y,z\right)\leq x\leq g_2\left(y,z\right),\;avec\;y\in\left[c,d\right]\;ou\;\left[h_1\left(x\right),h_2\left(x\right)\right],\;\left[h_1\left(z\right),h_2\left(z\right)\right]\;et\;z\in\left[e,f\right]\;ou\;\left[P_1\left(x\right),P_2\left(x\right)\right],\;\left[P_1\left(y\right),P_2\left(y\right)\right].\;\;

L’integrale triple s’écrire :

I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz=\iint\limits_D\left[\int_{g_1\left(y,z\right)}^{g_2\left(y,z\right)}f\left(x,\;y,\;z\right)dx\right]dydz.

Proposition 5 : cas particulier : Si f\left(x,\;y,\;z\right)=g\left(x\right).h\left(y\right).P\left(z\right) trois fonctions continues, avec V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d,\;e\leq z\leq f.

I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz=\int_a^b\int_c^d\int_e^fg\left(x\right).h\left(y\right).P\left(z\right)dxdydz.

I=\left[\int_a^bg\left(x\right)dx\right]\left[\int_c^dh\left(y\right)dy\right]\left[\int_e^fP\left(z\right)dz\right]

Exemple 5 :

Calculer l’integrale suivante :

Integrale triple

On peut séparer f en trois fonctions indépendantes :

Integrale triple

Théorème de changement de variables

Soit V ⊂ \mathbb{R}^3 et f : V \rightarrow \mathbb{R}^2 une fonction continue sur le domaine fermé et borné. Il y a deux moyens pour représenter un point dans un plan :

  • En coordonnées cartésiennes (x,y,z).
  • En coordonnées cylindriques (r,θ,z).

La principale application du changement de variables dans les intégrales triples concerne les intégrales sur des cylindres ou sur des sphères. Par exemple, pour calculer le volume (bien connu!) d’un cylindre d’axe Oz, de rayon r et de “hauteur” z, on utilise les coordonnées cylindriques.

Coordonnées cylindriques :

Chaque point dans l’espace (2D) est représenté en coordonnées cylindriques par :

Coordonnées cylindriques
Coordonnées cylindriques

Déterminants jacobiens :

On appelle matrice jacobienne, la matrice J(r, θ, z) suivante :

jacobiens
jacobiens

et on appelle déterminant jacobien ou jacobien le déterminant :

Integrale triple

Remarque importante : le déterminant de la matrice peut être défini comme le produit mixte des trois vecteurs dont les composantes sont données par les colonnes de la matrice.

Le jacobien a été calculé dans un exemple précédent, il vaut r. D’où on retrouve le passage entre les intégrales triples du cartésien en cylindrique se fera :

Integrale triple
Exemple :

On a :

Integrale triple

Application au calcul de volumes.

Soit V un sous enseble de \mathbb{R}^3. L’integrale I=\underset V{\int\int\int}1.dxdydz nous donne le volume du domaine de V.

Exemple 1 :

On calcule I=\underset\triangle{\int\int\int}1.dxdydz, avec \triangle=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/\left(x,y\right)\in D=\left[0,1\right]^2\;et\;\;0\leq z\leq x.

Calculons le volume :

Integrale triple
Exemple 2 :

Calculer le volume du cylindrque de rayon a et l’hacheur h.

Integrale triple

Calculons le volume :

Integrale triple

Si h=2, alors le volume de D est 2a^2\pi

Fin

Exemples supplémentaires

Exemple A :
Integrale triple
Exemple B :
volume
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