Integrale triple
Cette publication contient la leçon N°=9 de mathématiques 03 intitulée : Intégrale triple. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad
Le problème est de se donner des outils pour calculer l’aire d’une surface, le volume d’un solide ou encore la masse d’une plaque ou d’un solide. En physique on peut aussi chercher la charge éléctrique d’une plaque connaissant la densité surfacique, en chimie on retrouve des problèmes de concentration
Soit V ⊂ \mathbb{R}^3 et f : V \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue, on note :
I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz
Méthodes de calcul des intégrales triples
Théorème de Fubini : On considère une fonction f de trois variables définie sur le domaine de V.
Proposition 1 : Intégrales triples sur une boite rectangulaire. Si : V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d,\;e\leq z\leq f.
L’integrale triple s’écrire :
I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz=\int_a^b\int_c^d\int_e^ff\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz.
I=\int_c^d\int_e^f\left[\int_a^bf\left(x,\;y,\;z\right)dx\right]dydz=\int_a^b\int_e^f\left[\int_c^df\left(x,\;y,\;z\right)dy\right]dxdz=\int_a^b\int_c^d\left[\int_e^ff\left(x,\;y,\;z\right)d\right]dxdy.
Exemple 1 :
Soit I=\int_0^3\int_0^2\int_0^1\left[x+y+z\right]dxdydz, avec V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/1\leq x\leq3,\;0\leq y\leq2,\;0\leq z\leq1.
Donc :
Proposition 2 : Domaine V régulier selon l’axe oz : Si V est limité par deux surfaces P1(x,y) et P2 (x,y) et soit D la projection de V sur le plan (oxy), dans ce cas si : V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/\left(x,y\right)\in D\;et\;P_1\left(x,y\right)\leq z\leq P_2\left(x,y\right),\;avec\;x\in\left[a,b\right]\;ou\;\left[g_1\left(z\right),g_2\left(z\right)\right],\;\left[g_1\left(y\right),g_2\left(y\right)\right]\;et\;y\in\left[c,d\right]\;ou\;\left[h_1\left(x\right),h_2\left(x\right)\right],\;\left[h_1\left(z\right),h_2\left(z\right)\right].\;
L’integrale triple s’écrire :
I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz=\iint\limits_D\left[\int_{P_1\left(x,y\right)}^{P_2\left(x,y\right)}f\left(x,\;y,\;z\right)dz\right]dxdy.
Exemple 2 :
Calculer l’integrale triple suivante :
Donc : x fixe; 0\leq x\leq1,\;0\leq y\leq1-x\;et\;\;0\leq z\leq1-x-y.
On va essayer d’appliquer la propositon précédente :
Proposition 3 : Domaine V régulier selon l’axe oy. Si V est limité par deux surfaces h1(x,z) et h2(x,z). Alors : V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/\left(x,z\right)\in D\;et\;h_1\left(x,z\right)\leq y\leq h_2\left(x,z\right),\;avec\;x\in\left[a,b\right]\;ou\;\left[g_1\left(z\right),g_2\left(z\right)\right],\;\left[g_1\left(y\right),g_2\left(y\right)\right]\;et\;z\in\left[e,f\right]\;ou\;\left[P_1\left(x\right),P_2\left(x\right)\right],\;\left[P_1\left(y\right),P_2\left(y\right)\right].\;
L’integrale triple s’écrire :
I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz=\iint\limits_D\left[\int_{h_1\left(x,z\right)}^{h_2\left(x,z\right)}f\left(x,\;y,\;z\right)dy\right]dxdz.
Exemple 3 :
Calculer l’integrale suivante :
I=\int_0^z\int_{x-z}^{x+z}\int_{-1}^1\left[x+y+z\right]dxdydz
Alors :
Proposition 4 : Domaine V régulier selon l’axe ox. Si V est limité par deux surfaces g1(y,z) et g2(y,z). Alors : V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/\left(y,z\right)\in D\;et\;g_1\left(y,z\right)\leq x\leq g_2\left(y,z\right),\;avec\;y\in\left[c,d\right]\;ou\;\left[h_1\left(x\right),h_2\left(x\right)\right],\;\left[h_1\left(z\right),h_2\left(z\right)\right]\;et\;z\in\left[e,f\right]\;ou\;\left[P_1\left(x\right),P_2\left(x\right)\right],\;\left[P_1\left(y\right),P_2\left(y\right)\right].\;\;
L’integrale triple s’écrire :
I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz=\iint\limits_D\left[\int_{g_1\left(y,z\right)}^{g_2\left(y,z\right)}f\left(x,\;y,\;z\right)dx\right]dydz.
Proposition 5 : cas particulier : Si f\left(x,\;y,\;z\right)=g\left(x\right).h\left(y\right).P\left(z\right) trois fonctions continues, avec V=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d,\;e\leq z\leq f.
I=\underset V{\int\int\int}f\left(x,\;y,\;z\right)dxdydz=\int_a^b\int_c^d\int_e^fg\left(x\right).h\left(y\right).P\left(z\right)dxdydz.
I=\left[\int_a^bg\left(x\right)dx\right]\left[\int_c^dh\left(y\right)dy\right]\left[\int_e^fP\left(z\right)dz\right]
Exemple 5 :
Calculer l’integrale suivante :
On peut séparer f en trois fonctions indépendantes :
Théorème de changement de variables
Soit V ⊂ \mathbb{R}^3 et f : V \rightarrow \mathbb{R}^2 une fonction continue sur le domaine fermé et borné. Il y a deux moyens pour représenter un point dans un plan :
- En coordonnées cartésiennes (x,y,z).
- En coordonnées cylindriques (r,θ,z).
La principale application du changement de variables dans les intégrales triples concerne les intégrales sur des cylindres ou sur des sphères. Par exemple, pour calculer le volume (bien connu!) d’un cylindre d’axe Oz, de rayon r et de “hauteur” z, on utilise les coordonnées cylindriques.
Coordonnées cylindriques :
Chaque point dans l’espace (2D) est représenté en coordonnées cylindriques par :
Déterminants jacobiens :
On appelle matrice jacobienne, la matrice J(r, θ, z) suivante :
et on appelle déterminant jacobien ou jacobien le déterminant :
Remarque importante : le déterminant de la matrice peut être défini comme le produit mixte des trois vecteurs dont les composantes sont données par les colonnes de la matrice.
Le jacobien a été calculé dans un exemple précédent, il vaut r. D’où on retrouve le passage entre les intégrales triples du cartésien en cylindrique se fera :
Exemple :
On a :
Application au calcul de volumes.
Soit V un sous enseble de \mathbb{R}^3. L’integrale I=\underset V{\int\int\int}1.dxdydz nous donne le volume du domaine de V.
Exemple 1 :
On calcule I=\underset\triangle{\int\int\int}1.dxdydz, avec \triangle=\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3/\left(x,y\right)\in D=\left[0,1\right]^2\;et\;\;0\leq z\leq x.
Calculons le volume :
Exemple 2 :
Calculer le volume du cylindrque de rayon a et l’hacheur h.
Calculons le volume :
Si h=2, alors le volume de D est 2a^2\pi
Fin
Exemples supplémentaires
Exemple A :
Exemple B :
