Séries numériques

Cette publication contient la leçon N°=14 de mathématiques 03 intitulée : Séries numériques. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad

Définition 1 : Soit (u_n)_n une suite de nombres réels, on note :

S_n est appelée suite des sommes partielles d’ordre ”n”. u_n est le terme général de série. On appelle série numérique de terme général ”u_n” : \sum_{n=1}^\infty u_n.

Alors : \sum_{n=1}^\infty u_n,\;\sum_{}^{}u_n,\;\sum_{n\geq0}^{}u_n\;: c’est la série numérique.

La nature de la série

Condition nécessaire de convergence

• Si \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0\Longrightarrow\left(\sum u_n\right) convergente.
• Si \lim _{n \rightarrow+\infty} u_n \neq 0 \Longrightarrow\left(\sum u_n\right) divergente.

Remarque : La condition \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0 n’est suffisante.

Exemple 1 : On a \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac1n=0 mais la série \sum_{n=1}^{+\infty}\frac1n diverge.

Exemple 2 : La série \sum_{n=1}^{+\infty}\cos\left(\frac\pi n\right) est grossiérement divergente car \lim_{n\rightarrow\infty}\cos\left(\frac\pi n\right)=1\neq0.

Somme de la série

Dans ce cas, la limite de la suite (S_n) est appelée somme de la série et on note :

• Si \lim _{n \rightarrow+\infty} S_n=\ell \Longrightarrow\left(\sum u_n\right) convergente.
• Si \lim _{n \rightarrow+\infty} S_n\neq 0 \Longrightarrow\left(\sum u_n\right) divergente.

Exemple

Soit la série de terme général u_n=\frac1{n\left(n+1\right)}

On peut écrire après décomposition en éléments simples que :

u_n=\frac1n-\frac1{\left(n+1\right)}

La somme de la série : S_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}

Comme \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}=\lim _{n \rightarrow+\infty} S_n=1, notre série est convergente et vaut 1.

Proposition 3: Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries numériques. Donc on a :

Exemple

Considérons la série \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac3{2^n}+\frac2{n\left(n+1\right)}\right). Cette série est convergente car les séries \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac3{2^n}\right) et \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac2{n\left(n+1\right)}\right) convergent. De plus on a :

Série géométrique

c’est une série dont le terme général est de la forme :

u{}_n=a.r^n,\;a\neq0

Avec : r le raison, a le premier terme

Pour ce type de série, le calcul de la somme partielle est donné par la formule suivante :

On calcul la limite de S_n et on obtient le suivant :

Séries de Riemann

Définition : Soit α ∈ R. On appelle série de Riemann toute série de la forme :

• Si α > 1, la série de Riemann est covergente.
• Si α ≤ 1, la série de Riemann est divergente.
• Si α = 1, on obtient la série harmonique qui est divergente elle aussi.

Séries à termes positifs

Dans l’étude de la nature d’une série ce n’est pas toujours possible de calculer sa somme par contre on peut déterminer cette derniére on utilise d’autres techniques, pour cela on a besoin d’autres outils (Les critéres).

Une série numérique \sum u_n est dite série à termes positifs si u_n≥0 pour tout n ∈ N.

1. Critére d’intégrale

Théorème : On considére la fonction définie par : f\;:\;\lbrack1,+\infty\lbrack\rightarrow\mathbb{R}^+ une fonction continue positive et décroissante. On pose : u_n = f(n).

Donc \sum_{n=1}^{+\infty}u_n\;\;et\;\int_1^{+\infty}f\left(x\right)dx sont de mêmes natures.

Exemple

2. Critère de comparaison

Théorème : Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries numériques à termes positifs. On suppose que 0≤u_n≤v_n pour tout n ∈ N. Alors :

Exemple

3. Critère d’équivalence

Théorème : Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries à termes strictement positifs.

On suppose que \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=\ell,\; \ell \ne 0\;et\;\ell \ne + \infty . Alors les deux séries sont de même nature.

Exemples

Remarque : On remarque ici qu’on peut facilement démontrer la divergence de \sum v_n :

4. Critère de Cauchy

Théorème : Soit \sum u_n une série numérique à termes positifs (\sum u_n\geq0), supposons que :

\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\ell

Donc :

Exemple

Soit la série de terme général \left(\frac12\right)^n.

\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\left(\frac12\right)^n}=\left[\left(\frac12\right)^n\right]^\frac1n=\frac12<1.

Alors la série u_n est convergente.

5. Critère de D’Alembert

Théorème : Soit \sum u_n une série numérique à termes strictement positifs (\sum u_n\geq0), on suppose que :

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\ell :

Donc :

Exemples

1) Soit la série de terme général u_n=\left(\frac1e\right)^n\geq0.

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(\frac1e\right)^{n+1}}{\left(\frac1e\right)^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(\frac1e\right)^n\left(\frac1e\right)}{\left(\frac1e\right)^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac1e\right)=\frac1e<1.

Donc la série u_n=\left(\frac1e\right)^n\geq0 est convergente.

2) Soit la série de terme général u_n=\frac1{n!}\geq0.

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{n+1}=0<1.

Alors la série u_n=\frac1{n!} est convergente.

Séries à termes quelconques

on appelle série a termes quelconlques une série \sum_{n\geq0}u_n dont les termes peuvent etre positifs ou négatifs suivant les valeurs prises par n.

Absolument convergente

Théorème : Une série \sum_{n=0}^\infty u_n est dite absolument convergente si \sum_{n=0}^\infty\left|u_n\right| converge.

Exemple

Séries alternées

Définition : Le terme général un d’une telle série peut-être noté u_n = (−1)ⁿv_n ou un = (−1)ⁿ⁺¹v_n avec v_n≥ 0. Dans le cas général une série alternée sera souvent notée :

{\sum {\left( { - 1} \right)} ^n}\left| {{u_n}} \right|

Théorème (Critère de Leibniz) : Soit la série alternée {\sum {\left( { - 1} \right)} ^n}\left| {{u_n}} \right|; On suppose que :

1. u_n>0
2. La suite (|u_n|) est décroissante.
3. \lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0

\Rightarrow\sum_{n=0}^{+\infty}u_n converge.

Exemple