Équation différentielle du premier ordre

Cette publication contient la leçon N°=11 de mathématiques 03 intitulée : Équation différentielle du premier ordre. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad.

Définition : On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre, une équation de la forme :

y'+a(x)y=b(x) …………………..(E)

où a(x) et b(x) sont des fonction définie sur \mathbb{R} ou une partie de \mathbb{R}.

Types des équation différentielle du premier ordre

Équation homogène : On appelle équation homogène (ou équation sans deuxième membre) associée à (E) l’équation :

y'+a(x)y=0

Équation normalisé : On appelle équation normalisée (ou équation avec deuxième membre) associée à (E) l’équation :

y'+a(x)y=b(x)

Résolution des équation différentielle du 1^er ordre

Théorème : Toute solution de (E) peut s’écrire sous la forme :

y=y_h + y_p

où y_h est la solution homogène de l’équation “sans second membre” et y_p est une solution particulière de l’équation “avec second membre”. L’ensenble des solutions est une solution générale (y=y_h + y_p).

Equations différentielles du 1^er ordre à variables séparables

Définition : Une équation différentielle ordinaire de premier ordre est dite à variables séparables si elle peut s’écrire sous la forme :

f\left(x\right)dx=g\left(y\right)dy

Pour la résoudre, on intégre les deux membres séparément, sans oublier les constantes d’intégration.

\int f\left(x\right)dx=\int g\left(y\right)dy\;\Rightarrow\;F\left(x\right)+C_1=G\left(y\right)+C_2

G\left(y\right)=F\left(x\right)+\left[C_1-C_2\right]\;\Leftrightarrow\;G\left(y\right)=F\left(x\right)+K

Avec : K\in\mathbb{R}.

Exemples :

1. Soit l’équation différentielle :

On écrit cette équation sous forme différentielle, puis on sépare les variables :

Par intégration de cette relation, il vient :

\int\frac{dy}{y-1}=\int2xdx\Leftrightarrow\ln\left(y-1\right)=x^2+C\rightarrow y=Ke^{x^2}+1

2. Soit l’équation différentielle :

y'=\frac yx, y(0)=3

3. Soit l’équation différentielle :

y'=e^{x-y}, y(e)=5

4. Soit l’équation différentielle :

y'=x\sin\left(y\right)

5. Soit l’équation différentielle :

y'=\frac{x^3+3}{x\cos\left(y\right)}

Il n’est pas toujours évident qu’une équation différentielle donnée est équivalente a une autre ou les variables sont séparables et on trouvera des illustrations de ce fait dans les pages qui suivent. Néanmoins, si on peut réduire une équation a cette forme nous savons comment la solutionner bien que les intégrations peuvent s’avérer parfois problématiques.

Résolution de l’équation différentielle homogène (sans second membre)

Sous forme : y'+a(x)y=0

Méthode par intégration directe

1. Si a=b=0 : Un cas particulier très simple est la recherche des primitives F d’une fonction f. Alors l’ED s’écrit sous la forme :

y’ = f(x)

Donc les solutions sont données par :

y=\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+K

On remarque qu’il y a une infinité de solutions à l’équation différentielle y’ = f(x) dépendant d’une constante arbitraire (K).

Exemples :

2. Si a constant et b=0 : sous forme : \;\;y'+ay=0

La solution de cette équation est donne par : y=Ke^{-ax},\;\;K\in\mathbb{R}.

Exemple :

2y'+4y=0 et y(0)=2

On a:

y'+2y=0

Donc :

y=Ke^{-2x}

2=Ke^{-2(0)} \Rightarrow K=2

Alors :

y=2e^{-2x}

3. Si a fonction et b=0 : sous forme : \;\;y'+a(x)y=0

La solution de cette équation est donne par : y=Ke^{-A(x)},\;\;K\in\mathbb{R}.

où K est une constante quelconque et A(x) une primitive de a(x).

Exemple :

y'+2xy=0

On a :

y'+2xy=0 \Rightarrow y=Ke^{-A\left(x\right)}=Ke^{-\int a\left(x\right)dx}=Ke^{-\int2xdx}

Alors :

\Rightarrow y=Ke^{-x^2}

On a obtenu ainsi toutes les solutions de l’équation homogène.

Résolution de l’équation différentielle normalisée (avec second membre)

s’obtiennent en ajoutant une solution particulière d’équation (E) à la solution homogène de l’équation différentielle homogène associée. La solution de l’équation différentielle normalisée (avec second membre) est : y=y_h+y_p.

1. Si a et b sont des constants : sous forme : y'+ay=b

La solution de cette équation est donne par : y_h=Ke^{-ax},\;\;K\in\mathbb{R} et y_p=b/a

y=Ke^{-ax}+b/a

Exemple :

y'+4y=2

On a :

y_h=ke^{-4x}

y_p=2/4

Donc :

y= y_h=ke^{-4x} +2/4

2. Si a et b sont des foctions : sous forme : y'+a(x)y=b(x)
3. Si a constant et b foction : sous forme : y'+ay=b(x)
4. Si a fonction et b constant : sous forme : y'+a(x)y=b

Dans les trois cas précédents on utilise la méthode de Lagrange ou méthode par facteur intégrant.

Méthode 1 : La variation de la constante

La méthode de la variation de la constante, aussi appelée méthode de Lagrange, permet de déterminer une solution particulière d’une équation différentielle linéaire du premier ordre, dès lors que l’on connait la forme générale des solutions de l’équation homogène associée. Le principe de la méthode de la variation de la constante consiste à :

1. Chercher la solution générale de l’équation homogène associée à (E), qui est de la forme y_h=Ke^{-F\left(x\right)}, où F est une primitive de a sur l’intervalle I.

2. On cherche à déterminer une fonction K(x) dérivable, la fonction y_p=K(x)e^{-F\left(x\right)} soit une solution de (E). On se ramène alors à un calcul de primitive.

Suppose donc que la solution homogène de l’équation différentielle :

y_h=Ke^{-F\left(x\right)}

à considérer alors K comme une fonction de x et à rechercher une solution particulière sous la forme :

y_p=K(x)e^{-F\left(x\right)}

On a :

y_p'+a\left(x\right)y_p=b\left(x\right)….. (A)

On recherche alors une solution particulière de la forme :

y_p=K\left(x\right)e^{-\int a\left(x\right)dx} …….(B)

y_p'=K\left(x\right)'e^{-\int a\left(x\right)dx}-a\left(x\right)e^{-\int a\left(x\right)dx}K\left(x\right)…. (C)

On remplace l’équation (B) et (C) dans (A) :

K\left(x\right)'e^{-\int a\left(x\right)dx}-a\left(x\right)e^{-\int a\left(x\right)dx}K\left(x\right)+a\left(x\right)K\left(x\right)e^{-\int a\left(x\right)dx}=b\left(x\right)

Donc :

K\left(x\right)'e^{-\int a\left(x\right)dx}=b\left(x\right)\Leftrightarrow K\left(x\right)'=b\left(x\right)e^{\int a\left(x\right)dx}

où K est une fonction dérivable sur l’intervalle I de résolution. En effet, on a :

K\left(x\right)=\int b\left(x\right)e^{\int a\left(x\right)dx}dx

Donc la solution génerale de ED y'+a(x)y=b(x) s’écrit :

y=y_h+y_p \Rightarrow y=Ke^{-F\left(x\right)}+K\left(x\right)e^{-F\left(x\right)}.

Exemples :

Déterminer la solution générale des systèmes suivantes :

\left(x-2\right)y'=y+\left(x-2\right)^3

xy'-y=x^2\cos\left(x\right),\;\;y\left(\frac\pi2\right)=1

Méthode 3 : Par facteur intégrant

Une ED linéaire s’écrit sous la forme :

y'+a(x)y=b(x)

Avec : a et b sont fonction seulement de x ou des constantes. La méthode se décompose comme suit :

(1)\int a\left(x\right)dx

(3)\;\int b(x).\;P\left(x\right)\;dx

Exemple :

Résoudre : xy’+2y=x

On a : xy’+2y=x \Rightarrow\;y'+\frac2xy=1

(1) \int a\left(x\right)dx=\int\frac2xdx=2\ln\left(x\right)\

(2)\;P(x)=e^{(1)}=e^{2\ln(x)}=e^{\ln(x^2)}=x^2

(4)\;y=e^{-(1)}\left((3)+C\right)=e^{-(2\ln\left(x\right))}\left(\frac{x^3}3+C\right)=\frac1{x^2}\left(\frac{x^3}3+C\right)

Avec : y=\frac1{x^2}\left(\frac{x^3}3+C\right) est la solution générale.

Fin