Équation aux dérivées partielles

Cette publication contient la leçon N°=13 de mathématiques 03 intitulée : Équation aux dérivées partielles. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad

Une Équation aux Dérivées Partielles (EDP) est une équation fonctionnelle qui met
en relation des dérivées partielles. Typiquement, si u est une fonction à valeurs scalaires des variables x et y, avec (x, y) ∈ D, où D désigne un ouvert de \mathbb{R}^2 , une EDP est une relation de la forme :

Une équation dans laquelle figure une fonction f de plusieurs variables indépendantes x, y, z,…, t et des dérivées partielles de f par rapport à ces variables.

• L’ordre d’une équation aux dérivées partielles est le plus haut degré de dérivation présent dans l’équation.
• La dimension d’une équation aux dérivées partielles est le nombre de variables indépendantes dont dépend la fonction inconnue u.

Dérivées partielles

On se limite pour les énoncés au cas de fonctions de deux variables, mais les notions qui suivent se généralisent facilement aux fonctions de n variables réelles, ou n est un entier quelconque (supérieur a 2). Pour le moment, nous n’examinons que les propriétés des applications partielles associées a une telle fonction f.

Soit f(x,y) une fonction de deux variables réelles définié au voisinage de [a,b]. On peut définit la dérivée partielle par rapport a x par :

On définit la dérivée partielle par rapport a y par meme méthode, on note :

Dériveés successives

• De la meme facon, on peut définie la dérivée de la fonction f_x' par rapport a x, on la note f_{xx}'' ou \frac{\partial^2f}{\partial x^2}.
• aussi la dérivée de la fonction f_x' par rapport a y, on la note f_{xy}'' ou \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}.
• la dérivée de la fonction f_y' par rapport a y, on la note f_{yy}'' ou \frac{\partial^2f}{\partial y^2}.
• la dérivée de la fonction f_y' par rapport a x, on la note f_{yx}'' ou \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}.

Théoréme de Schwarz : Si les dérivées partielles f_{xy}'' et f_{yx}'' sont continues, alors ces dérivées sont égales :

f_{xy}'' = f_{yx}''

Exemple :

• Trouver les dérivées secondes de f\left(x,y\right)=x^3+x^2y^3-2y^2.

On a : f_x=3x^2+2xy^3\;\;\;et\;\;\;\;f_y=3x^2y^2-4y

• Alors :

Différentielles totales

Soit U(x,y) une fonction de deux variables possédant des dérivées partielles continues. La differentielle totales de U s’écrit par :

Exemple :

Calcule dU pour : U\left(x,y\right)=x^2+xy.

Equation de Laplace : Les EDP expriment certaines lois de la physique. L’EDP : \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0 est appelée équation de Laplace. Ses solutions sont appelées fonctions harmoniques. Elles jouent un rôle dans les problèmes de conduction de chaleur, d’écoulement d’un fluide et de potentiel électrique.

• L’équation de Laplace en 3D s’écrit : \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}=0

Opérateurs différentiels

• Gradient spatial d’une fonction scalaire :

Soit f(x,y,z), où le symbole nabla ∇ (grad) représente le gradient de f.

• Laplacien d’un champ scalaire :

Soit f(x,y,z), où ∆ delta est l’opérateur de Laplace.

Exemples :

• Soit f\left(x,y\right)=x^3y+\frac xy+5x

• Soit f\left(x,y\right)=\cos\left(x+y\right)-x^3+y^2

• Soit \overrightarrow F\left(x,y,z\right)=xy\overrightarrow i+xz\overrightarrow j-x^2y^3z\overrightarrow k

Types des équation aux dérivée partielle

Équation aux dérivée partielle linéaire

Définition : On dit qu’une équation aux dérivées partielles du seconde ordre est linéaire si la dépendance par rapport à la fonction inconnue et ses dérivées partielles est linéaire :

Équation aux dérivée partielle quasi-linéaire

Définition : On dit qu’une équation aux dérivées partielles du seconde ordre est
quasi-linéaire si elle est de la forme :

où a, b, c et F sont des fonctions

Équation aux dérivée partielle non-linéaire

Définition : On dit qu’une équation aux dérivées partielles est complètement non linéaire si elle dépend non linéairement de ses termes d’ordre le plus élevé.

Équation aux dérivée partielle du premier ordre

Définition : Une équation dans laquelle figure une fonction f de plusieurs variables indépendantes et des dérivées partielles du 1^er ordre de f par rapport à ces variables. Dans le cas de deux variables, une EDP d’ordre 1 s’écrit :

Équation aux dérivée partielle du second ordre

Définition : Soit f une fonction de deux variables x et y. On appelle équation aux dérivées partielles du 2^ème ordre, une relation de la forme

Classification des EDP du second ordre

Définition : a, b, c étant trois fonctions définies dans un ouvert de \mathbb{R}^2 , et F une fonction définie dans un ouvert de \mathbb{R}^5 , on appelle équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre,d’inconnue u,une équation de la forme :

1. Équation aux dérivée partielle elliptiques : Une équation telle que, dans un domaine D :

\triangle=b^2-4ac<0

2. Équation aux dérivée partielle hyperboliques : Une équation telle que, dans un domaine D :

\triangle=b^2-4ac>0

3. Équation aux dérivées partielles paraboliques : Une équation telle que, dans un domaine D :

\triangle=b^2-4ac=0

Méthode de séparation des variables

Théorème : On considère un terme source nul et des conditions aux limites homogènes dans notre système d’équation.On suppose que l’inconnue u dépend de deux variables x et y.

Les étapes suivantes sont nécessaires :

1. On pose u(x, y) = X(x)Y(x) avec X et Y sont respectivement des fonctions de x et y ayant au moins des dérivées premières et secondes continues ; on porte cela dans l’équation on doit alors obtenir des équations à variables séparées en opérant une division formelle de l’équation par u(x, y) = X(x)Y(x). Il apparaît de plus un paramètre réel que l’on note K.
2. On résout l’équation en X(x) avec des conditions aux limites correspondantes. Il faut alors obtenir une suite infinie de couples de solutions X_n(x)K_n, dites valeurs et fonctions propres de problème.
3. Il faut trouver un produit scalaire qui orthogonalise la suite des X_n(x).
4. On résout l’équation en Y(y) pour les valeurs λn trouvées, ce qui nous donne une suite de solutions Y_n(y) étant défini à un certain nombre de constante prés (qui dépend de l’ordre de l’équation en Y(y)).
5. On écrit la solution générale de l’équation sous la forme u\left(x,y\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}X_n\left(x\right)Y_n\left(y\right) et on applique les conditions initiales pour déterminer les coeffcients.

Exemple : Résolution des EDP du 1^er ordre

On cherche a résoudre cette équation :

2y\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}

La méthode de séparation des variables consiste à posé :

u\left(x,y\right)=X\left(x\right).Y\left(y\right)

Si on fait le changement :

\frac{\partial u}{\partial x}=X'\left(x\right).Y\left(y\right)

\frac{\partial u}{\partial y}=X\left(x\right).Y'\left(y\right)

En posant ensuite :

2yX'\left(x\right).Y\left(y\right)=X\left(x\right).Y'\left(y\right)

Cette équation se met sous la forme :

2y\frac{X'\left(x\right)}{Y\left(y\right)}=\frac{Y'\left(y\right)}{X\left(x\right)}

On divise alors formellement par :

\frac{X'\left(x\right)}{X\left(y\right)}=\frac1{2y}\frac{Y'\left(y\right)}{Y\left(x\right)}

Comme le membre de gauche ne dépend que de x et le membre de droite que de y on en déduit qu’il existe K ∈ IR avec :

\frac{X'\left(x\right)}{X\left(y\right)}=K

\frac1{2y}\frac{Y'\left(y\right)}{Y\left(x\right)}=K

On a bien obtenu deux équations à variables séparées. Après intégration, on obtient :

X=C_1e^{Kx}

Y=C_2e^{Ky^2}

Donc la solution générale de l’équation est : u\left(x,y\right)=X.Y=Ce^{K\left(x+y^2\right)}

Exemple : Résolution des EDP du 2^éme ordre

On cherche a résoudre l’équation du 2^éme ordre :

\frac{\partial^2u}{\partial^2x}=\frac{\partial^2u}{\partial^2y}

On pose : u\left(x,y\right)=X\left(x\right).Y\left(y\right)

Si on fait le changement :

X''Y=XY''\Leftrightarrow\frac{X''}X=\frac{Y''}Y\Rightarrow\frac{X''}X=K_x\;\;et\;\frac{Y''}Y=K_y

1^er cas : Si Kx\;>0\;et\;\;Ky\;>0\;

• \Rightarrow X''-K_xX=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;X\left(x\right)=A_1e^{K_xx}+B_1e^{-K_xx}
• \Rightarrow Y''-K_yY=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;Y\left(y\right)=A_2e^{K_yy}+B_2e^{-K_yy}

Alors la solution élémentaire de cette cas par la méthode de séparation des variables est : u\left(x,y\right)=X\left(x\right).Y\left(y\right).

2^éme cas : Si Kx\;=0\;et\;\;Ky\;=0\;

• \Rightarrow X''=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;X\left(x\right)=A_1x+B_1.
• \Rightarrow Y''=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;Y\left(y\right)=A_2y+B_2.

Alors la solution élémentaire de cette cas par la méthode de séparation des variables est : u\left(x,y\right)=X\left(x\right).Y\left(y\right).

3^éme cas : Si Kx\;<0\;et\;\;Ky\;<0\;

• \Rightarrow X''+K_xX=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;X\left(x\right)=A_1\cos\left(kx\right)+B_1\sin\left(kx\right)
• \Rightarrow Y''+K_yY=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;Y\left(y\right)=A_2\cos\left(ky\right)+B_2\sin\left(ky\right)

Alors la solution élémentaire de cette cas par la méthode de séparation des variables est : u\left(x,y\right)=X\left(x\right).Y\left(y\right).

Fin