Intégration par changement de variable

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Cette publication contient la quatrième leçon N°=4 de mathématiques 03 intitulée : Intégration par changement de variable. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad

Théorème : La méthode d’intégration par changement de variable est l’une des méthodes les plus importantes de calcul des intégrales indéfinies. Elle consiste à déterminer des intégrales inconnues en remplaçant une variable par une autre, le choix de cette dernière doit être conditionné par l’obtention d’une forme à intégrer proche de celles listées dans la table d’intégrales. Après avoir effectué l’intégration, on revient généralement à la variable d’origine en inversant le changement de variable pour donner le résultat final en fonction de cette variable. Soit à calculer l’intégrale :

\int_a^bf\left(x\right)dx

Bien que nous ne sachions pas calculer directement la primitive de la fonction f\left(x\right) étant une fonction définie est continue sur \left[a,b\right]), nous savons qu’elle existe.

  • Changement de variable x=\psi\left(x\right):

Dans le cas où f\left(x\right)dx peut se mettre sous la forme f\left(\psi\left(x\right)\right)\psi\left(x\right)'dx, en effectuons le changement de variable suivant :

t=\psi\left(x\right)

\psi\left(x\right)est une fonction continue, ainsi que sa dérivée, et admet une fonction inverse. Alors :

dt=\psi\left(x\right)'dx

Nous obtiendrons l’égalité suivante :

\int_a^bf\left(x\right)dx=\int_a^bf\left(\psi\left(x\right)\right)\psi'\left(x\right)dx=\int_{\psi\left(a\right)}^{\psi\left(b\right)}f\left(t\right)dt.

  • Changement de x=\varphi\left(t\right) :

La fonction \varphi admet une dérivée continue sur un intervalle \left[t1,t2\right] défini par :

t_1=\varphi^{-1}\left(a\right),t_2=\varphi^{-1}\left(b\right) et f\left(x\right)dx=f\left(\varphi\left(t\right)\varphi'\left(t\right)\right)dt

Alors l’intégrale (1) s’exprimera par :

\int_a^bf\left(x\right)dx=\int_a^b\varphi^{-1}\left(a\right)\varphi^{-1}\left(b\right)f\left(\varphi\left(t\right)\varphi'\left(t\right)\right)dt

Exemple (10) :

Calculer l’intégrale suivante :

I=\int\frac x{1+x^4}dx et J=\int\limits_1^e\frac1{x\left(1+\ln^2\left(x\right)\right)}dx

Solution (10) :

Calculons I :

Posons t=x^2, alors dt=2xdx et par consequent :

I=\int\frac x{1+x^4}dx=\int\frac12\frac1{1+t^2}dt=\frac12\int\frac1{1+t^2}dt=\frac12arctan\left(t\right)+C=\frac12arctan\left(x^2\right)+C.

Finalement :

I=\int\frac x{1+x^4}dx=\frac12arctan\left(x^2\right)+C.

Calculons J :

Intégration par changement de variable

Par consequent :

J=\int\limits_1^e\frac1{x\left(1+\ln^2\left(x\right)\right)}dx=\int\limits_0^1\frac1{x\left(1+t^2\right)}xdt=\int\limits_0^1\frac1{\left(1+t^2\right)}dt

Finalement :

J=\int\limits_1^e\frac1{x\left(1+\ln^2\left(x\right)\right)}dx=\int\limits_0^1\frac1{\left(1+t^2\right)}dt=\left[Arc\tan\left(x\right)\right]_0^1=\frac\pi4

Remarque : L’intégrale C.V peut être utilisée pour déterminer la primitive de fonctions complexes impliquant des racines, des fonctions trigonométriques, des fonctions logarithmes, et bien d’autres encore.

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