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Intégration des fonctions trigonométriques et hyperboliques 1

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Cette publication contient le cinquième leçon N°=5 de mathématiques 03 intitulée : Intégration des fonctions trigonométriques et hyperboliques. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad

Dans cette partie, on s’intéresse à l’intégration de certaines classes de fonctions trigonométriques et hyperboliques :

  • Type 1 : Fonctions trigonométriques et hyperboliques du type : I=\int c\mathrm{os}\left(mx\right)\cdot\sin\left(nx\right)dx\;\;ou\;\;I=\int c\mathrm{h}\left(mx\right)\sh\left(nx\right)dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n,m\in N
  • Type 2 : Fonctions trigonométriques et hyperboliques du type : I=\int\mathrm{cos}^m\left(x\right)\cdot\sin^n\left(x\right)dx\;\;ou\;\; I=\int\mathrm{ch}^m\left(x\right)\sh^n\left(x\right)dx \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n,m\in N
  • Type 3 : Fonctions trigonométriques et hyperboliques du type : I = \int {R\left( {cos\left( x \right)sin\left( x \right)} \right)dx} ou I = \int {R\left( {ch\left( x \right)sh\left( x \right)} \right)dx}

a – Fonctions trigonométriques et hyperboliques du type 1

\int\sin\left(mx\right)\cos\left(nx\right)dx,\int\sin\left(mx\right)\sin\left(nx\right)dx,\int\cos\left(mx\right)\cos\left(nx\right)dx,\int\cos\left(mx\right)\sin\left(nx\right)dx\int\sh\left(mx\right)\ch\left(nx\right)dx,\int\sh\left(mx\right)\sh\left(nx\right)dx,\int\ch\left(mx\right)\ch\left(nx\right)dx,\int\ch\left(mx\right)\sh\left(nx\right)dx

Regle linéarisation:

Théorème : Dans ce cas on utilise les formules de transformations suivantes :

2\;\cos\left(mx\right)\;\;\cos\left(nx\right)=\cos\left(m+n\right)x+\cos\left(m-n\right)x2\;\sin\left(mx\right)\;\;\sin\left(nx\right)=\cos\left(m-n\right)x-\cos\left(m+n\right)x

2\;\cos\left(mx\right)\;\;\sin\left(nx\right)=\sin\left(m+n\right)x+\sin\left(m-n\right)x.

2\;\ch\left(mx\right)\;\;\ch\left(nx\right)=\ch\left(m+n\right)x+\ch\left(m-n\right)x2\;\sh\left(mx\right)\;\;\sh\left(nx\right)=\ch\left(m+n\right)x-\ch\left(m-n\right)x

2\;\sh\left(mx\right)\;\;\ch\left(nx\right)=\sh\left(m+n\right)x+\sh\left(m-n\right)x.

Démonstration :

\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( A \right)\;\;\cos \left( B \right) - \sin \left( A \right)\;\;\sin \left( B \right)\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\cos \left( {A - B} \right) = \cos \left( A \right)\;\;\cos \left( B \right) + \sin \left( A \right)\;\;\sin \left( B \right)\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\sin \left( {A + B} \right) = \sin \left( A \right)\;\;\cos \left( B \right) + \sin \left( B \right)\;\;\cos \left( A \right)\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\sin \left( {A - B} \right) = \sin \left( A \right)\;\;\cos \left( B \right) - \sin \left( B \right)\;\;\cos \left( A \right)\;\;\;\;\;\;\;\;(4)

(1) + (2)

\cos \left( {A + B} \right) + \cos \left( {A - B} \right) = 2\;\cos \left( A \right)\;\;\cos \left( B \right)

On pose A=mx\;\;\;et\;B=nx alors :

2\;\cos\left(m\right)\;\cos\left(n\right)=\;\cos\left(m+n\right)x+\cos\left(m-n\right)x

(2)+(1)

\cos\left(A-B\right)\;\;-\;\cos\left(A+B\right)=2\;\sin\left(A\right)\;\;\sin\left(B\right).

On pose A=mx\;\;\;et\;B=nx alors :

2\;\sin\left(mx\right)\;\;\sin\left(nx\right)=\cos\left(m-n\right)x\;\;-\;\cos\left(m+n\right)x

(3) + (4)

\sin\left(A+B\right)\;\;+\;\sin\left(A-B\right)=2\;\sin\left(A\right)\;\;\cos\left(B\right)

On pose A=mx\;\;\;et\;B=nx alors :

2\;\sin\left(mx\right)\;\;\cos\left(nx\right)=\sin\left(m+n\right)x\;\;+\;\sin\left(m-n\right)x

Exemple (11) :

Calculer les intégrales suivantes :

I=\int\sin\left(4x\right)\cos\left(2x\right)dx

Solution (11) :

Calculons I :

I=\int\sin\left(4x\right)\cos\left(2x\right)dx=\frac12\int\left[\sin\left(6x\right)+\sin\left(2x\right)\right]dx=-\frac{\cos\left(6x\right)}{12}-\frac{\cos\left(2x\right)}4+C

a – Fonctions trigonométriques et hyperboliques du type 2

Dans ce cas, on distingue trois cas pour calculer l’Intégration des fonctions trigonométriques et hyperboliques \int\cos^m\left(x\right)\cdot\sin^n\left(x\right)dx\;\;\;ou\;\;\; \int\ch^m\left(x\right)\cdot\sh^n\left(x\right)dx.

  • Cas 1  : n est impair  (n = 2p +1) : t=\cos\;\left(x\right)\;\;\;ou\;\;\;t=ch\left(x\right).

Théorème: Nous avons :

I=\int\cos^m\left(x\right)\cdot\sin^n\left(x\right)dx=\int\cos^m\left(x\right)\cdot\sin^{\left(2p+1\right)}\left(x\right)dx=\int\cos^m\left(x\right)\cdot\sin^{2p}\left(x\right)\cdot\sin\left(x\right)dx.

=\int\cos^m\left(x\right).{(sin^2(x))^p}.sin\left(x\right)dx=\int\cos^m\left(x\right){(1-cos^2(x))^p}.sin\left(x\right)dx.

En effectuant le changement de variable suivant :

t=\cos\;\left(x\right)\Rightarrow dt=-sin\;\left(x\right)dx

En substituant ces dernières expressions dans l’intégrale considérée, on trouve :

I=-\int t^m\;\left(1-t^2\right)^pdt

Finalement :

I=\int\cos^m\left(x\right)\cdot\sin^n\left(x\right)dx=-\int t^m\;\left(1-t^2\right)^pdt

Exemple (12) :

Calculer l’intégrale suivante :

I=\int\cos^2\left(x\right)\cdot\sin^3\left(x\right)dx

Solution (12) :

Nous avons :

I=\int\cos^2\left(x\right)\cdot\sin^3\left(x\right)dx=\int\cos^2\left(x\right)\cdot\sin^2\left(x\right).\sin\left(x\right)dx=\int\cos^2\left(x\right)\cdot\left(1-\cos^2\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)dx

En effectuant le changement de variable suivant :

t=\cos\;\left(x\right)\Rightarrow dt=-sin\;\left(x\right)dx

En substituant ces dernières expressions dans l’intégrale considérée I, on trouve :

I=\int\cos^2\left(x\right)\cdot\left(1-\cos^2\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)dx=-\int t^2\left(1-t^2\right)dt=-\frac13t^3+\frac15t^5+C=-\frac13\cos^3\left(x\right)+\frac15\cos^5\left(x\right)+C

Finalement :

I=\int\cos^2\left(x\right)\cdot sin^3\left(x\right)dx=-\frac13\cos^3\left(x\right)+\frac15\cos^5\left(x\right)+C

  • Cas 2 : m est impair (m = 2p +1) : t=\sin\left(x\right)\;\;\;ou\;\;\;\;t=sh\left(x\right):

Théorème : Nous avons :

I=\int\cos^m\left(x\right)\cdot\sin^n\left(x\right)dx=\int\cos^{\left(2p+1\right)}\left(x\right)\cdot\sin^n\left(x\right)dx=\int\cos^{2p}\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right).\sin^n\left(x\right)\cdot dx=\int{(\cos^2(x))^p}.\cos\left(x\right)\sin^n\left(x\right)dx={\int(1-\sin^2(x))^p}.\cos\left(x\right)\sin^n\left(x\right)dx

En effectuant le changement de variable suivant :

t=\sin\left(x\right)\Rightarrow dt=\cos\;\left(x\right)dx

en substituant ces dernières expressions dans l’intégrale considérée, on trouve :

I=\int t^n\;\left(1-t^2\right)^pdt

Finalement :

I=\int\cos^m\left(x\right)\cdot\sin^n\left(x\right)dx=\int t^n\;\left(1-t^2\right)^pdt

Exemple (13) :

Calculer l’intégrale suivante :

I=\int\cos^3\left(x\right)\cdot\sin^2\left(x\right)dx

Solution (13) :

Nous avons :

I=\int\cos^3\left(x\right)\cdot\sin^2\left(x\right)dx=\int\cos^2\left(x\right).\cos\left(x\right)\cdot\sin^2\left(x\right)dx=\int\left(1-\sin^2\left(x\right)\right)\cdot\cos\left(x\right)\sin^2\left(x\right)dx

En effectuant le changement de variable suivant :

t=sin\;\left(x\right)\Rightarrow dt=\cos\;\left(x\right)dx

En substituant ces dernières expressions dans l’intégrale considérée I, on trouve :

I=\int\left(1-\sin^2\left(x\right)\right)\cdot\cos\left(x\right)sin^2\left(x\right)dx=-\int t^2\left(1-t^2\right)dt=\frac13t^3-\frac15t^5+C=\frac13\sin^3\left(x\right)-\frac15\sin^5\left(x\right)+C

Finalement :

I=\int\cos^3\left(x\right)\cdot\sin^2\left(x\right)dx=\frac13\sin^3\left(x\right)-\frac15\sin^5\left(x\right)+C

  • Cas 3  : n, m sont pairs non négatifs m = 2p, n = 2p.

Théorème : Dans ce cas, on utilise les formules trigonométriques suivantes :

\sin^2\left(x\right)=\frac{1-\cos\left(2x\right)}2,\;\;\cos^2\left(x\right)=\frac{1+\cos\left(2x\right)}2,\;\;\sin\left(2x\right)=2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right).

\mathrm{sh}^2\left(x\right)=\frac{ch\left(2x\right)-1}2,\;\;\ch^2\left(x\right)=\frac{ch\left(2x\right)+1}2,\;\;sh\left(2x\right)=2sh\left(x\right)ch\left(x\right).

En effectuant les opérations indiquées, on obtient un développement suivant les puissances paires et impaires de \cos\left(2x\right). Les termes contenant des puissances impaires peuvent être intégrés comme nous l’avons indiqué dans les précédents (premier cas et deuxième cas). En ce qui concerne les termes contenant des puissances paires, on transforme \cos\left(2x\right) en \frac{1+\cos\left(4x\right)}2 afin d’abaisser le degré de ces puissances. En procédant de cette manière, on arrive finalement à des termes de la forme que l’on intègre facilement.

Exemple (14) :

Calculer l’intégrale suivante :

I=\int\cos^2\left(x\right)\cdot\sin^2\left(x\right)dx

Solution (14) :

Nous avons :

I=\int\cos^2\left(x\right)\cdot\sin^2\left(x\right)dx=\int\left(\cos\left(x\right)\cdot\sin\left(x\right)\right)^2dx=\frac14\int\frac{1-\cos\left(4x\right)}2dx=\left(\frac18-\frac18cos\left(4x\right)\right)dx=\frac18x-\frac1{32}\sin\left(4x\right)+C

Finalement :

I=\int\cos^2\left(x\right)\cdot\sin^2\left(x\right)dx=\frac18x-\frac1{32}\sin\left(4x\right)+C

A bad workman always blames his tools

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