Intégration des fractions rationnelles

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Cette publication contient la leçon N°=7 de mathématiques 03 intitulée : Intégration des fractions rationnelles. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad.

Dans cette partie, on examine le calcul des primitives dans le cas des fractions rationnelles à savoir des fonctions de P\left(x\right)/Q\left(x\right) , où P\left(x\right)\;\;et\;\;Q\left(x\right) étant deux polynômes. Sans perte de généralité, on suppose que ces polynômes n’ont pas des racines communes.

Définition: Soient P\left(x\right)\;\;et\;\;Q\left(x\right) sont deux polynômes à coefficients dans \mathfrak R . On note [deg{\rm{ }}\left( P \right)] le degré du polynôme P\left(x\right) et [deg{\rm{ }}\left( Q \right)] le degré du polynôme Q\left(x\right).

Une fonction fraction rationnelle est une fonction qui être mise sous la forme :

f\left(x\right)=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}

Théorème : On distingue trois types fractions rationnelles :

a. Fractions rationnelles du type I

Si le numérateur P\left(x\right) est la dérivée du dénominateur Q\left(x\right) , on utilise la méthode :

I=\int\frac{g'}gdx=\ln\left|g\right|+C

Exemple (16) :

Calculer :

I=\int\frac{2x-2}{1+\left(x-1\right)^2}dx

Solution (16) :

Nous avons :

I=\int\frac{2x-2}{1+\left(x-1\right)^2}dx=\int\frac{2x-2}{1+x^2-2x+1}dx=\int\frac{2x-2}{x^2-2x+2}dx

Finalement :

I=\int\frac{2x-2}{x^2-2x+2}dx=\ln\left|x^2-2x+2\right|+C

b. Fractions rationnelles du type II

Si le degré du numérateur P\left(x\right) est supérieur à celui du dénominateur Q\left(x\right) , on dit alors que la fraction est régulière, i.e : deg\left(P\right)\geq deg\left(Q\right). La preuve découle de la division Euclidienne de P\left(x\right)\;sur\;Q\left(x\right).

\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=H\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}

Exemple (17) :

Calculer :

I=\int\frac{x+3}{x+1}dx

Solution (17) :

Nous avons :

Intégration des fractions rationnelles

Finalement :

I=\int\frac{x+3}{x+1}dx=\int1dx+\int\frac2{x+1}dx=x+2\ln\left|x+1\right|+C

c. Fractions rationnelles du type III

Si le degré du numérateur P\left(x\right) est inférieur à celui du dénominateur Q\left(x\right) , on dit alors que la fraction est irrégulière, i.e : deg\left(P\right)\prec deg\left(Q\right).

On effectue la décomposition en éléments simples de l’Intégration des fractions rationnelles c’est à dire se décompose en une partie entière qui est polynôme et en une somme d’éléments simples de type :

  • Q\left(x\right)=ax^2+bx+c donne une DFP avec 2 racines réells distinctes \frac A{\left(x-x_1\right)}+\frac B{\left(x-x_2\right)} :

I=A\ln\left|\left(x-x_1\right)\right|+B\ln\left|\left(x-x_2\right)\right|+C

Exemple (18) :

Calculer :

I=\int\frac{3x-8}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}dx

Solution (18) :

Nous avons :

f\left(x\right)=\frac{3x-8}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\frac A{\left(x-2\right)}+\frac B{\left(x-3\right)}

A\;\;et\;\;B?

\frac{3x-8}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\frac{A\left(x-3\right)+B\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}

On a :

3x-8=A\left(x-3\right)+B\left(x-2\right)=x\left(A+B\right)-3A-2B

Alors:

Intégration des fractions rationnelles

Finalement :

I=\int\frac{3x-8}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\int\frac2{\left(x-2\right)}+\int\frac1{\left(x-3\right)}=2\ln\left|x-2\right|+\ln\left|x-3\right|+C
  • Q\left(x\right)=\left(x-x_0\right)^k donne une DFP avec raciness double \frac{A_1}{\left(x-x_0\right)}+\frac{A_2}{\left(x-x_0\right)^2}+……….\frac{A_K}{\left(x-x_0\right)^k} :
Exemple (19) :

Calculer :

I=\int\frac{2x-1}{\left(x-2\right)^2}dx

Solution (19) :

Nous avons :

f\left(x\right)=\frac{2x-1}{\left(x-2\right)^2}=\frac A{\left(x-2\right)}+\frac B{\left(x-2\right)^2}

A\;\;et\;\;B?

2x-1=A\left(x-2\right)+B=Ax-2A+B

Alors :

Finalement:

I=\int\frac{2x-1}{\left(x-2\right)^2}dx=\int\frac2{\left(x-2\right)}dx+\int\frac3{\left(x-2\right)^2}dx

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