Intégration des fonctions trig-hyperboliques 2

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Cette publication contient la sixième leçon N°=6 de mathématiques 03 intitulée : Intégration des fonctions trig-hyperboliques 2. Proposé et rédigé par Dr Khader Saad

c – Fonctions trigonométriques et hyperboliques du type 3

Maintenant, on considère l’intégrale suivante : R\left(cos\left(x\right),sin\left(x\right)\right)dx ,

où R est une fraction rationnelle en sin\left(x\right)\;et\;cos\left(x\right)\;ou\;sh\left(x\right)\;et\;ch\left(x\right)\;:

on a :

f\left(x\right)=\frac{P\left(\cos\left(x\right),\sin\left(x\right);sh\left(x\right),ch\left(x\right)\right)}{Q\left(\cos\left(x\right),\sin\left(x\right);sh\left(x\right),ch\left(x\right)\right)}

b.1 Règles de Bioche

Théorème : Les règles de Bioche sont des règles pour calculer des intégrales de fractions rationnelles en sinus et cosinus (Intégration des fonctions trig-hyperboliques 2), en les ramenant à des intégrales de fractions rationnelles. Précisément, f\left(x\right)=\;F\left(x\right)dx: posons l’intégrande (avec l’élément différentiel). Alors,

A) Si f\left(-x\right)=\;f\left(x\right): on pourra effectuer le changement variable t=cos\left(x\right)\;\;ou\;\;ch\left(x\right) .

B) Si f\left(\pi-x\right)=\;f\left(x\right): on pourra effectuer le changement variable t=sin\left(x\right)\;\;ou\;\;sh\left(x\right).

C) Si f\left(\pi+x\right)=\;f\left(x\right): on pourra effectuer le changement variable t=tan\left(x\right)\;\;ou\;\;Th\left(x\right).

Exemple (15) :

Soit à calculer l’intégrale :

I=\int\frac{dx}{1+\cos^2\left(x\right)}

Solution (15) :

Nous avons :

f\left(x\right)=\frac{dx}{1+\cos^2\left(x\right)}

Qui vérifie

f\left(-x\right)=\;-f\left(x\right),f\left(\pi-x\right)=\;-f\left(x\right),f\left(\pi+x\right)=\;f\left(x\right)

On pose donc t=tan\left(x\right), de sorte que :

I=\int\frac{dx}{1+\cos^2\left(x\right)}=\int\frac{dx}{sin^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)}=\int\frac{dx}{sin^2\left(x\right)+2\cos^2\left(x\right)}

Le calcul donne alors :

I=\int\frac{dx}{\cos^2\left(x\right)\left(2+\tan^2\left(x\right)\right)}=\int\frac{dt}{2+t^2}=\frac12\int\frac{dt}{1+\left({\displaystyle\frac t{\sqrt2}}\right)^2}=\frac12\arctan\left(\frac t{\sqrt2}\right)+C

Finalement :

I=\int\frac{dx}{1+\cos^2\left(x\right)}=\frac12\arctan\left(\frac t{\sqrt2}\right)+C

b.2 Méthode génrale

Théorème : Quand les règles de Bioche ne s’appliquent pas, on peut recourir à un changement de variable qui marche dans tous les cas. Mais attention, si les règles de Bioche s’appliquent, elles donnent généralement un calcul plus simple. Par conséquent, il faut éviter de se contenter de ce changement de variable sous prétexte qu’il marche dans tous les cas.

Cas 1 : Fonctions trigonométriques

t=\tan\left(\frac x2\right),\;x=2\arctan\left(t\right),\;dx=\frac2{1+t^2}dt,\;\cos\left(x\right)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\;sin\left(x\right)=\frac{2t}{1+t^2},\;\tan\left(x\right)=\frac{2t}{1-t^2}

Cas 2 : Fonctions hyperboliques

t=Th\left(\frac x2\right),\;x=2\arg Th\left(t\right),\;dx=\frac2{1-t^2}dt,\;ch\left(x\right)=\frac{1+t^2}{1-t^2}, sh\left(x\right)=\frac{2t}{1-t^2},\;Th\left(x\right)=\frac{2t}{1+t^2}.

Démonstration :

  • Calculons \cos\left(x\right) :
Intégration des fonctions trigonométriques et hyperboliques 2

Finalement :

\cos\left(x\right)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

  • Calculons \sin\left(x\right) :

Finalement :

\sin\left(x\right)=\frac{2t}{1+t^2}

  • Le changement de variable t=\tan\left(\frac x2\right), nous permet d’écrire  :
Intégration des fonctions trigonométriques et hyperboliques 2

Finalement :

dx=\frac2{1+t^2}dt

Exemple (16) :

Calculer les intégrales suivantes :

I=\int\frac1{1+\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}dx

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