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Série d’exercices : Equations différentielles

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Cette publication contient série d’exercices : Equations différentielles qui consiste à démontrer les notions qui sont vues dans les cours Math 03.

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Equations différentielles de premier ordre

Exercice 1 : Équation différentielle à variables séparables

1-1: y'=x^3\sqrt y. 1-2: xy'\ln(x)=(3\ln(x)+1)y. 1-3: xydx+(1+x^2)dy=0. 1-4: (x^2-1)dy=ydx.

Exercice 2 : Donner la solution homogène des équations différentielles suivantes :

2-1: 6y'+10y=0. 2-2: y'=7x^2y. 2-3: y'+2y-3=0.

Exercice 3 : Par la méthode de Lagrange, trouver la solution générale des équations différentielles suivantes :

3-1: xy'-y=x^2\ln\left(x\right) y(1)=4. 3-2: y'+y=2\sin\left(x\right) y(0)=2. 3-3: xy'+2y=\frac x{1+x^2}. 3-4: y'-\frac axy=x^ae^x.

Exercice 4 : Méthode du facteur integrant

Dans un circuit électrique de type résistance-inductance (RL), le courant I évolue avec le temps. Où R, L et E sont des constantes associées aux composantes électriques.

Série d’exercices : Equations différentielles

Écriver l’expression du courant I(t) en utilisant la méthode de facteur integrant.

Equations différentielles du second ordre

Exercice 1 : Donner la solution homogène des équations différentielles suivantes :

1-1: y''-8y'=-16y, y\left(0\right)=5\;et\;y\left(2\right)=-2.

1-2: y''-5y'+6y=0, y\left(0\right)=-6\;et\;y'\left(0\right)=5.

1-3: 2y''+2y'+5y=0, y\left(0\right)=3\;et\;y'\left(0\right)=5.

1-4: y''-y'+y=0, y\left(0\right)=2\;et\;y'\left(0\right)=1-\sqrt3.

Exercice 2 : Trouver l’équation de la fonction f\left(x\right) sachant que :

f"\left(x\right)=6x,\;f'\left(2\right)=7 et la fonction f\left(x\right) passe par (1,2).

Exercice 3 : Résoudre sur \mathbb{R} les équations différentielles suivantes :

3-1: y''+3y'+2y=2x+8.

3-2: 4y''+5y'+y=\frac1{Ch\left(x\right)}.

3-3: y''-4y'+4y=\left(1+x\right)e^{2x}, y\left(0\right)=1\;et\;y'\left(0\right)=2.

3-4: y''-2y'+2y=e^x\cos\left(x\right).

3-5: y''+y=\frac1{1+\sin^2\left(x\right)}, y\left(0\right)=-1\;et\;y'\left(1\right)=3.

Equations aux dérivées partielles

Exercice 1 :

1.1 Déterminer \frac{\partial^2f}{\partial x^2},\;\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y},\;\frac{\partial^2f}{\partial y^2},\;\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} pour la fonction f\left(x,y\right)=x^2+xy^2-y

1.2 Trouver f_x\left(2,1\right) et f_y\left(2,1\right) . Si f\left(x,y\right)=x^3+x^2y^3-2y^2 .

Exercice 2 :

2.1 Soit u\left(x,y\right)=e^x\sin\left(y\right) est solution de l’équation de laplace. Montre que : \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0.

2.2 Soit f\left(x,y\right)=\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}. Est ce que u=\cos\left(x+y\right) est solution de f\left(x,y\right).

Exercice 3 : Trouver la solution des équations aux dérivées partielles suivantes :

3.1 x\ln\left(x\right)\frac{\partial u}{\partial x}-e^{-4y}\frac{\partial u}{\partial y}=0.

3.2 \frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial u}{\partial y}+u , avec conditions limites u\left(x,0\right)=e^x.

Exercice 4 :

  1. Quelle est la classification des équations suivantes ?

(a)- y^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-x^2\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0.

(b)- x^4\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-xy\frac{\partial^2u}{\partial y\partial x}+y^2\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=\ln\left(x-1\right).

  1. Trouver la solution des équations aux dérivées partielles d’ordre 2 suivantes :

A- \frac{\partial u}{\partial x}=4\frac{\partial^2u}{\partial y^2}, avec la valeur de K_y=0.\;\; u\left(0,\;y\right)=2\;\;et\;\;u\left(x,\;5\right)=\cos\left(x\right).

B- 2\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-3\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0, avec la valeur de K_x=1\;\;et\;\;K_y=-5.

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