Équations différentielles

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Les équations différentielles sont une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L’ordre d’une équation différentielle correspond au degré maximal de différenciation auquel une des fonctions inconnues a été soumise.

Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l’étude de la radioactivité ou la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un vaste champ d’étude, aussi bien en mathématiques pures qu’en mathématiques appliquées.

Ainsi, une équation différentielle d’ordre n est une équation de la forme :

équation différentielle d'ordre n

Où y est une fonction de la variable x. y(n) représente la dérivée d’ordre n de y par rapport à x. En notation différentielle, on écrit y(n) = dny/dxn .

Types des systémes d’équations différentielles.

  1. Une équation aux dérivées ordinaire (EDO)
  2. Une équation aux dérivées partielles (EDP)
Équations différentielles linéaires :

Une équation différentielle est dite linéaire si :

  • y et ses dérivées sont de puissance 1,
  • pas de produit entre y et ses dérivées,
  • pas de fonctions non linéaires de y (siny, cosy, exp(y),….).
Équations différentielles linéaires
Résolution des équations différentielles :

Résoudre ou intégrer l’équation différentielle consiste à trouver toutes les fonctions y qui vérifient l’équation sur un intervalle I. Résoudre une ED c’est de :

  • Trouver la fonction pour laquelle l’ED est vérifiée (vraie).
  • Éliminer les dérivées et trouver une relation entre y et x.

Équation différentielle ordinaire

Si y est fonction seulement de x alors l’ED est dite ordinaire. Dans l’équation EDO, n s’appelle l’ordre de l’équation. Ainsi, une ED ordinaire est une équation de la forme :

Équations différentielles

où les fonctions a0(x), a1(x),…,an(x), g(x) sont toutes définies sur un intervalle commun I.

L’ordre d’une EDO est l’ordre de la dérivée la plus élevée.

Exemple

Équations différentielles

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