Eprouve finale de Mathématique 3
Cette publication contient l’examen finale et de rattrapage, qui consiste à démontrer les notions qui sont vues dans les cours Mathématique 3. Ils s’adressent aux étudiants du niveau 2éme année Génie électrique. Année Universitaire : 2022/2023.
Exercice 1 (6+1 pts)
A l’aide des sommes de Riemann d’une fonction convenable, calculer la limite des suites suivantes :
b_n=\sum_{k=1}^n\frac{k\pi^2}{n^2}cos{(\frac{k\pi}n)} .
Exercice 2 (6+1 pts)
- Calculer les intégrales suivantes :
I_1=\int\limits_{-2}^{-1}x.2^{-x^2}dx (P. Usuelle)
I_2=\int\limits_{}^{}cos{(ln{(x)})}dx (I.PP)
I_3=\int\limits_0^{\pi/2}sin{(2x)}.e^{sin{(x)}}dx (I.CV)
I_4=\int\limits_{}^{}sh^3{(x)}.ch^4{(x)}dx (I.f-trigonométrique)
Exercice 3 (8 pts)
- Trouver la solution homogène de l’équation différentielle à variables séparables : y'x=y\ln\left(y\right) .
- Résoudre par la méthode du facteur intègrent l’équation différentielle linéaire du premier ordre (E_1) , vérifiant y'\left(2\right)=1 .
y'+y=arctg\left(x\right)
- Soit la fonction f{(x)}={(x^2+1)}e^x : ℜ\rightarrow ℜ continue et l’équation différentielle (E_2) sur ℜ qui s’écrit comme suit :
y''-4y'+4y=f\left(x\right)
- Calculer la solution générale (Variation de la constante) de l’équation différentielle (E_2) avec : y_g=y_h+y_p
- Déterminer l’unique solution telle que y'\left(2\right)=0;y\left(1\right)=4 .
Bonne chance
Eprouve de rattrapage : Mathématique 3
Exercice 1 (6 pts)
Déterminer la limite des suites suivantes a l’aide des sommes de Riemann :
a_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n^2}{\left(n+K\right)^2} et b_n=\sum_{k=1}^n\frac{n+K^2}{n^3+K^3}
Exercice 2 (6 pts)
Calculer les intégrales suivantes :
I_1=\int\limits_2^e\frac{\ln\left(x\right)+1}{x.\ln^2\left(x\right)}dx .
I_2=\int\limits_{}^{}\frac{\cos3x}{1+\sin^2\left(3x\right)}dx .
I_3=\int\limits_0^1x.ch\left(x\right)dx .
I_4=\int\limits_{}^{}\cos^3\left(x\right).\sin^4\left(x\right)dx .
Exercice 3 (8 pts)
- Trouver la solution homogène de l’équation différentielle : y'=16y+2 .
- On considère l’équation différentielle suivante: E\Rightarrow y''+y'-2y=-3e^{-2x} , ou y est une fonction de la varible réelle x, deux foix dérivable sur ℜ. Soit H\Rightarrow y''+y'-2y=0 l’équation homogéne associée a E.
- Résoudre l’équation différentielle H.
- Vérifier que la fonction f définie par: f=xe^{-2x} est une solution particuliere de E.
- Donner la solution générale de E.
- Déterminer l’unique solution telle que y'\left(0\right)=3;y\left(0\right)=-1 .
FIN